Номер 15, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $A_1F_1$.

16. В ...

В данной задаче требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми $BC$ и $A_1F_1$ в правильной шестиугольной призме, у которой все ребра равны 1.
Прямая $BC$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$, а прямая $A_1F_1$ — в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Поскольку призма является правильной, ее основания — это правильные шестиугольники, и они лежат в параллельных плоскостях. Обозначим плоскость нижнего основания как $\pi_1$, а плоскость верхнего основания как $\pi_2$. Таким образом, $\pi_1 \parallel \pi_2$.
Боковые ребра правильной призмы перпендикулярны плоскостям оснований. Расстояние между параллельными плоскостями оснований равно высоте призмы, которая по условию равна длине бокового ребра, то есть $h = 1$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется как длина их общего перпендикуляра. Существует несколько способов нахождения этого расстояния. Воспользуемся методом проекций.
Расстояние между скрещивающимися прямыми $l_1$ и $l_2$, лежащими в параллельных плоскостях $\pi_1$ и $\pi_2$ соответственно, равно расстоянию между этими плоскостями тогда и только тогда, когда ортогональная проекция одной прямой на плоскость другой пересекает вторую прямую.

В нашем случае, прямая $BC \subset \pi_1$ и прямая $A_1F_1 \subset \pi_2$. Найдем ортогональную проекцию прямой $A_1F_1$ на плоскость нижнего основания $\pi_1$. Так как призма прямая (поскольку она правильная), то проекцией точки $A_1$ является точка $A$, а проекцией точки $F_1$ является точка $F$. Следовательно, проекцией прямой $A_1F_1$ на плоскость $\pi_1$ является прямая $AF$.

Теперь задача сводится к тому, чтобы определить, пересекаются ли прямые $BC$ и $AF$ в плоскости основания $ABCDEF$.
Рассмотрим шестиугольник $ABCDEF$. Все его стороны равны 1, и все внутренние углы равны $120^\circ$. Прямые, содержащие стороны $BC$ и $AF$, не параллельны (в правильном шестиугольнике сторона $BC$ параллельна главной диагонали $AD$ и стороне $FE$). Следовательно, прямые $BC$ и $AF$ должны пересекаться.
Найдем точку их пересечения. Продлим отрезки $FA$ за точку $A$ и $CB$ за точку $B$. Пусть они пересекаются в точке $K$. Рассмотрим треугольник $KAB$. Угол $\angle ABC = 120^\circ$, поэтому смежный с ним угол $\angle KBA = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Аналогично, угол $\angle FAB = 120^\circ$, поэтому смежный с ним угол $\angle KAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Так как два угла в треугольнике $KAB$ равны $60^\circ$, то и третий угол $\angle AKB$ также равен $60^\circ$. Таким образом, треугольник $KAB$ является равносторонним.

Мы показали, что прямые $AF$ и $BC$ пересекаются в точке $K$. Эта точка $K$ является точкой на прямой $BC$. Также точка $K$ лежит на прямой $AF$, которая является проекцией прямой $A_1F_1$.
Пусть $K_1$ — это точка на прямой $A_1F_1$, ортогональной проекцией которой на плоскость $\pi_1$ является точка $K$. Тогда отрезок $KK_1$ перпендикулярен плоскости $\pi_1$ и, следовательно, прямой $BC$, лежащей в этой плоскости. Также отрезок $KK_1$ перпендикулярен плоскости $\pi_2$ и, следовательно, прямой $A_1F_1$. Значит, $KK_1$ — это общий перпендикуляр к прямым $BC$ и $A_1F_1$.
Длина этого общего перпендикуляра $KK_1$ равна расстоянию между плоскостями оснований, то есть высоте призмы.
По условию, все ребра призмы равны 1, значит, высота призмы равна 1.
Следовательно, искомое расстояние между прямыми $BC$ и $A_1F_1$ равно 1.

Ответ: 1