Номер 19, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $EE_1$.

В условии задачи дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все рёбра равны 1. Это означает, что сторона основания, которое является правильным шестиугольником $ABCDEF$, равна 1, и боковые рёбра ($AA_1, BB_1$ и т.д.), определяющие высоту призмы, также равны 1.

Нам необходимо найти расстояние между прямыми $BB_1$ и $EE_1$.

Прямые $BB_1$ и $EE_1$ являются боковыми рёбрами правильной призмы. По определению правильной призмы, все её боковые рёбра параллельны друг другу. Следовательно, прямые $BB_1$ и $EE_1$ параллельны ($BB_1 \parallel EE_1$).

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это длина отрезка, перпендикулярного обеим прямым и соединяющего их. Так как призма правильная, боковые рёбра $BB_1$ и $EE_1$ перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$. Это значит, что любой отрезок, лежащий в плоскости основания и соединяющий точки $B$ и $E$, будет перпендикулярен обеим прямым $BB_1$ и $EE_1$.

Таким образом, задача сводится к нахождению длины отрезка $BE$ в плоскости основания.

Основание $ABCDEF$ – это правильный шестиугольник со стороной $a=1$. Отрезок $BE$ соединяет противоположные вершины шестиугольника, то есть является его большой диагональю. Длина большой диагонали правильного шестиугольника в два раза больше длины его стороны.

Формула для вычисления длины большой диагонали $d$ правильного шестиугольника со стороной $a$: $d = 2a$

Подставляя в эту формулу значение стороны $a=1$, получаем: $BE = 2 \cdot 1 = 2$.

Этот результат можно также получить, если учесть, что правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников с общей вершиной в центре $O$ шестиугольника. Длина отрезка от любой вершины до центра равна стороне шестиугольника, то есть $BO = EO = 1$. Вершины $B$, $E$ и центр $O$ лежат на одной прямой (так как $B$ и $E$ – противоположные вершины). Следовательно, длина диагонали $BE$ равна сумме длин отрезков $BO$ и $OE$: $BE = BO + OE = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2.