Номер 12, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $C_1D_1$.

13. В правильной шестиугольной призм

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BC$ и $C_1D_1$ воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания призмы, правильного шестиугольника $ABCDEF$, совпадает с началом координат $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$, а ось $Ox$ — через середины сторон $BC$ и $EF$. Такой выбор упростит координаты некоторых точек, но стандартный выбор с осью $Ox$ через вершину $A$ также подходит. Давайте воспользуемся стандартным выбором для наглядности: ось $Ox$ проходит через вершину $A$.

По условию, все ребра призмы равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника) равна 1, и высота призмы также равна 1.

Найдем координаты вершин, необходимых для решения задачи. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной $a=1$, равен $R=a=1$. Вершины шестиугольника $ABCDEF$ лежат на этой окружности в плоскости $z=0$.

• Координаты вершины $A$: $A$ лежит на положительной части оси $Ox$ на расстоянии $R=1$ от начала координат. $A(1, 0, 0)$.
• Координаты вершины $B$: Поворот на $60^\circ$ от $A$. $B(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0)$, что дает $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Координаты вершины $C$: Поворот на $120^\circ$ от $A$. $C(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0)$, что дает $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Координаты вершины $D$: Поворот на $180^\circ$ от $A$. $D(1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0)$, что дает $D(-1, 0, 0)$.

Верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является сдвигом нижнего основания на вектор $(0, 0, 1)$ вдоль оси $Oz$. Следовательно, координаты вершин $C_1$ и $D_1$ равны:

• $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
• $D_1(-1, 0, 1)$

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными точкой и направляющим вектором ($M_1$, $\vec{u}$) и ($M_2$, $\vec{v}$), вычисляется по формуле смешанного произведения:

$d = \frac{|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{M_1M_2}|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Найдем направляющий вектор $\vec{u}$ для прямой $BC$:

$\vec{u} = \vec{BC} = C - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

Найдем направляющий вектор $\vec{v}$ для прямой $C_1D_1$:

$\vec{v} = \vec{C_1D_1} = D_1 - C_1 = (-1 - (-\frac{1}{2}), 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 1) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

В качестве точек на прямых возьмем $M_1=C$ на прямой $BC$ и $M_2=C_1$ на прямой $C_1D_1$. Найдем вектор $\vec{M_1M_2}$:

$\vec{M_1M_2} = \vec{CC_1} = C_1 - C = (-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Теперь вычислим векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \vec{j}((-1) \cdot 0 - 0 \cdot (-\frac{1}{2})) + \vec{k}((-1) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 0 \cdot (-\frac{1}{2})) = (0, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем модуль векторного произведения:

$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вычислим смешанное произведение $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{M_1M_2}$:

$(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{M_1M_2} = (0, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (0, 0, 1) = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Наконец, подставляем найденные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 1$.

Примечание (геометрический способ): Можно заметить, что боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно обеим плоскостям оснований, так как призма правильная. Прямая $BC$ лежит в нижнем основании, а $C_1D_1$ — в верхнем. Следовательно, $CC_1 \perp BC$ и $CC_1 \perp C_1D_1$. Поскольку отрезок $CC_1$ соединяет точку $C$ на прямой $BC$ и точку $C_1$ на прямой $C_1D_1$ и перпендикулярен обеим прямым, он является их общим перпендикуляром. Его длина равна расстоянию между прямыми. По условию, длина бокового ребра $CC_1$ равна 1.

Ответ: 1