Номер 8, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $DC_1$.

9. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основа

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми в кубе можно использовать два способа: геометрический (основанный на свойствах фигур) и векторно-координатный (с использованием векторов в системе координат).

Способ 1: Геометрический

1. Рассмотрим расположение данных прямых $BA_1$ и $DC_1$ в единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

2. Прямая $BA_1$ является диагональю передней грани куба $ABB_1A_1$. Следовательно, вся прямая $BA_1$ лежит в плоскости этой грани, то есть $BA_1 \subset (ABB_1A_1)$.

3. Аналогично, прямая $DC_1$ является диагональю задней грани куба $DCC_1D_1$. Следовательно, вся прямая $DC_1$ лежит в плоскости этой грани, то есть $DC_1 \subset (DCC_1D_1)$.

4. Плоскости $(ABB_1A_1)$ и $(DCC_1D_1)$ — это плоскости противолежащих граней куба, а значит, они параллельны друг другу: $(ABB_1A_1) \parallel (DCC_1D_1)$.

5. Прямые $BA_1$ и $DC_1$ скрещивающиеся, так как они лежат в параллельных плоскостях, но сами не параллельны.

6. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, лежащими в параллельных плоскостях, по определению равно расстоянию между этими плоскостями.

7. Расстояние между параллельными плоскостями $(ABB_1A_1)$ и $(DCC_1D_1)$ равно длине любого перпендикулярного им отрезка, например, ребра $AD$ или $BC$.

8. Поскольку куб по условию единичный, длина его ребра равна 1. Следовательно, расстояние между плоскостями и, соответственно, между искомыми прямыми равно 1.

Ответ: 1.

Способ 2: Векторно-координатный

1. Введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат будет в точке $D$, ось $Ox$ направлена вдоль ребра $DC$, ось $Oy$ — вдоль $DA$, а ось $Oz$ — вдоль $DD_1$.

2. В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты:
$D(0, 0, 0)$
$A(0, 1, 0)$
$B(1, 1, 0)$
$C(1, 0, 0)$
$A_1(0, 1, 1)$
$C_1(1, 0, 1)$

3. Определим направляющие векторы для прямых $BA_1$ и $DC_1$.
Для прямой $BA_1$, проходящей через точки $B(1, 1, 0)$ и $A_1(0, 1, 1)$, направляющий вектор $\vec{u_1} = \vec{BA_1} = (0-1, 1-1, 1-0) = (-1, 0, 1)$.
Для прямой $DC_1$, проходящей через точки $D(0, 0, 0)$ и $C_1(1, 0, 1)$, направляющий вектор $\vec{u_2} = \vec{DC_1} = (1-0, 0-0, 1-0) = (1, 0, 1)$.

4. Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, проходящими через точки $M_1$ и $M_2$ с направляющими векторами $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$ соответственно, находится по формуле смешанного произведения:$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|}$

5. В качестве точек на прямых выберем $M_1 = B(1, 1, 0)$ и $M_2 = D(0, 0, 0)$. Вектор, соединяющий эти точки: $\vec{M_1M_2} = \vec{BD} = (0-1, 0-1, 0-0) = (-1, -1, 0)$.

6. Вычислим векторное произведение направляющих векторов:$\vec{n} = \vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \vec{j}((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \vec{k}((-1) \cdot 0 - 0 \cdot 1) = 0\vec{i} + 2\vec{j} + 0\vec{k} = (0, 2, 0)$.

7. Найдем модуль этого вектора:$|\vec{n}| = |\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2} = 2$.

8. Вычислим скалярное произведение (числитель дроби):$|\vec{BD} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})| = |(-1, -1, 0) \cdot (0, 2, 0)| = |(-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 2 + 0 \cdot 0| = |-2| = 2$.

9. Теперь можем найти расстояние:$d = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1.