Номер 14, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $E_1F_1$.

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$

Для нахождения расстояния между прямыми $BC$ и $E_1F_1$ в правильной шестиугольной призме, первым шагом определим их взаимное расположение.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Следовательно, сторона $BC$ параллельна стороне $EF$. Это можно записать как $BC \parallel EF$.

По условию, призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, а значит, прямой. Боковые грани такой призмы являются прямоугольниками. В частности, грань $EFF_1E_1$ — это прямоугольник. В прямоугольнике противолежащие стороны параллельны, поэтому $EF \parallel E_1F_1$.

Из двух утверждений, $BC \parallel EF$ и $EF \parallel E_1F_1$, следует, что прямые $BC$ и $E_1F_1$ параллельны друг другу: $BC \parallel E_1F_1$. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния между двумя параллельными прямыми в пространстве.

Расстояние между двумя параллельными прямыми — это длина перпендикуляра, проведенного от одной прямой к другой. Мы можем найти это расстояние, используя теорему Пифагора для двух компонент: вертикальной (вдоль высоты призмы) и горизонтальной (в проекции на плоскость основания).

1. Вертикальная составляющая расстояния. Прямая $BC$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$, а прямая $E_1F_1$ — в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Расстояние между этими параллельными плоскостями равно высоте призмы. По условию, все ребра призмы равны 1, значит, высота призмы $h$ (длина бокового ребра, например $AA_1$) равна 1. $h = 1$.

2. Горизонтальная составляющая расстояния. Спроектируем обе прямые на плоскость нижнего основания $ABCDEF$. Прямая $BC$ проектируется сама в себя. Прямая $E_1F_1$ проектируется в прямую $EF$. Горизонтальная составляющая искомого расстояния — это расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $EF$ в плоскости правильного шестиугольника $ABCDEF$.

Это расстояние равно расстоянию между противолежащими сторонами правильного шестиугольника. Правильный шестиугольник со стороной $a$ можно представить как совокупность шести равносторонних треугольников со стороной $a$. В нашем случае $a=1$. Расстояние от центра шестиугольника до любой из его сторон (апофема) равно высоте такого равностороннего треугольника: $a_{p} = a \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние между противолежащими сторонами $BC$ и $EF$ равно удвоенной апофеме. Обозначим это расстояние $d_{proj}$: $d_{proj} = 2 \cdot a_{p} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

3. Итоговое расстояние. Теперь мы можем найти искомое расстояние $d$ между прямыми $BC$ и $E_1F_1$ как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются вертикальное расстояние $h$ и расстояние в проекции $d_{proj}$. По теореме Пифагора: $d^2 = h^2 + (d_{proj})^2$ $d^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$ $d = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2