Номер 21, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC_1$ и $FE_1$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися или параллельными прямыми $BC_1$ и $FE_1$ в правильной шестиугольной призме, введем векторы. Пусть сторона основания призмы равна $a=1$ и высота призмы равна $h=1$, так как все ребра равны 1.

1. Определение взаимного расположения прямых.

Рассмотрим основания призмы – правильные шестиугольники $ABCDEF$ (нижнее) и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (верхнее). В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны и равны. В частности, сторона $BC$ параллельна стороне $FE$ и их длины равны 1. Следовательно, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{FE}$ равны: $\vec{BC} = \vec{FE}$.

Призма является правильной, значит, она прямая. Боковые ребра перпендикулярны основаниям и равны между собой. Поэтому векторы боковых ребер $\vec{CC_1}$ и $\vec{EE_1}$ также равны: $\vec{CC_1} = \vec{EE_1}$.

Теперь выразим направляющие векторы для прямых $BC_1$ и $FE_1$:

$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$

$\vec{FE_1} = \vec{FE} + \vec{EE_1}$

Так как $\vec{BC} = \vec{FE}$ и $\vec{CC_1} = \vec{EE_1}$, то и $\vec{BC_1} = \vec{FE_1}$. Это означает, что прямые $BC_1$ и $FE_1$ параллельны.

2. Нахождение расстояния между параллельными прямыми.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой. Найдем расстояние от точки $F$, лежащей на прямой $FE_1$, до прямой $BC_1$. Это расстояние равно длине высоты, опущенной из точки $F$ на прямую $BC_1$ в плоскости, содержащей эти две прямые.

Рассмотрим треугольник $\triangle FBC_1$. Найдем длины его сторон.

Длина стороны $BC_1$:

Сторона $BC_1$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. Так как призма правильная и все ребра равны 1, грань $BCC_1B_1$ является квадратом со стороной 1. По теореме Пифагора для $\triangle BCC_1$ ($ \angle C = 90^\circ $):

$|BC_1| = \sqrt{|BC|^2 + |CC_1|^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Длина стороны $FB$:

Отрезок $FB$ соединяет вершины в основании $ABCDEF$. Рассмотрим треугольник $\triangle FAB$ в плоскости основания. $|FA|=1$, $|AB|=1$. Угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, поэтому $\angle FAB = 120^\circ$. По теореме косинусов для $\triangle FAB$:

$|FB|^2 = |FA|^2 + |AB|^2 - 2 \cdot |FA| \cdot |AB| \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.

$|FB| = \sqrt{3}$.

Длина стороны $FC_1$:

Отрезок $FC_1$ является пространственной диагональю призмы. Для нахождения его длины найдем сначала длину его проекции на плоскость основания – отрезка $FC$. Отрезок $FC$ является большой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. Его длина равна удвоенной стороне шестиугольника: $|FC| = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle FCC_1$, где катет $FC$ лежит в основании, а катет $CC_1$ является боковым ребром. $CC_1 \perp FC$. По теореме Пифагора:

$|FC_1|^2 = |FC|^2 + |CC_1|^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

$|FC_1| = \sqrt{5}$.

Проверка типа треугольника $\triangle FBC_1$:

Мы нашли длины сторон треугольника: $|BC_1| = \sqrt{2}$, $|FB| = \sqrt{3}$, $|FC_1| = \sqrt{5}$.

Проверим, выполняется ли для этих сторон теорема Пифагора:

$|FB|^2 + |BC_1|^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$.

$|FC_1|^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $|FB|^2 + |BC_1|^2 = |FC_1|^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $\triangle FBC_1$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $B$ ($\angle FBC_1 = 90^\circ$).

Вычисление расстояния:

Поскольку $\angle FBC_1 = 90^\circ$, отрезок $FB$ является перпендикуляром, опущенным из точки $F$ на прямую $BC_1$. Следовательно, длина этого отрезка и есть искомое расстояние.

Расстояние между прямыми $BC_1$ и $FE_1$ равно $|FB|$.

Расстояние = $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$