Номер 20, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $DE_1$.

Для решения задачи найдем расстояние между прямыми $BA_1$ и $DE_1$ в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1. Решим задачу двумя способами.

Способ 1: Геометрический

Сначала определим взаимное расположение прямых $BA_1$ и $DE_1$. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике сторона $BA$ параллельна стороне $DE$ и равна ей по длине, т.е. четырехугольник $BADE$ является параллелограммом. Отсюда следует, что векторы $\vec{BA}$ и $\vec{DE}$ равны: $\vec{BA} = \vec{DE}$.

Рассмотрим векторы, задающие направления искомых прямых: $\vec{BA_1}$ и $\vec{DE_1}$. Их можно разложить по ребрам призмы: $\vec{BA_1} = \vec{BA} + \vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1} = \vec{DE} + \vec{EE_1}$.

Поскольку призма прямая и правильная, все боковые ребра равны и параллельны, поэтому $\vec{AA_1} = \vec{EE_1}$. Учитывая, что $\vec{BA} = \vec{DE}$, получаем $\vec{BA_1} = \vec{DE_1}$. Равенство направляющих векторов означает, что прямые $BA_1$ и $DE_1$ параллельны.

Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой. Найдем расстояние от точки $D$ (которая лежит на прямой $DE_1$) до прямой $BA_1$.

Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $BA_1$. Данный перпендикуляр совпадет с отрезком $BD$, если доказать, что вектор $\vec{BD}$ перпендикулярен направляющему вектору прямой $BA_1$, то есть вектору $\vec{BA_1}$. Проверим это с помощью скалярного произведения.

$\vec{BA_1} \cdot \vec{BD} = (\vec{BA} + \vec{AA_1}) \cdot \vec{BD} = \vec{BA} \cdot \vec{BD} + \vec{AA_1} \cdot \vec{BD}$.

Вектор бокового ребра $\vec{AA_1}$ перпендикулярен плоскости основания $ABCDEF$, в которой лежит вектор $\vec{BD}$. Следовательно, $\vec{AA_1} \perp \vec{BD}$, и их скалярное произведение равно нулю: $\vec{AA_1} \cdot \vec{BD} = 0$.

Теперь рассмотрим скалярное произведение $\vec{BA} \cdot \vec{BD}$ в плоскости основания. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной 1 рассмотрим треугольник $ABD$. Длины его сторон: $AB = 1$ (ребро), $AD = 2$ (большая диагональ), $BD = \sqrt{3}$ (малая диагональ). По теореме косинусов для $\triangle ABD$ найдем угол $\angle ABD$:

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2(AB)(BD)\cos(\angle ABD)$

$2^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\angle ABD)$

$4 = 1 + 3 - 2\sqrt{3}\cos(\angle ABD)$

$0 = - 2\sqrt{3}\cos(\angle ABD) \implies \cos(\angle ABD) = 0$.

Это означает, что $\angle ABD = 90^\circ$, то есть векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BD}$ перпендикулярны, и их скалярное произведение равно нулю: $\vec{BA} \cdot \vec{BD} = 0$.

Таким образом, скалярное произведение $\vec{BA_1} \cdot \vec{BD} = 0 + 0 = 0$. Это доказывает, что прямая $BA_1$ перпендикулярна отрезку $BD$. Значит, кратчайшее расстояние от точки $D$ до прямой $BA_1$ — это и есть длина отрезка $BD$.

Длина $BD$ — это длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной 1, которая равна $\sqrt{3}$.

Способ 2: Координатный метод

Введем систему координат. Поместим начало координат $O$ в центр нижнего основания $ABCDEF$. Ось $Ox$ направим через вершину $A$, а ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $AA_1$. Так как сторона шестиугольника равна 1, расстояние от центра до любой вершины также равно 1.

Координаты необходимых нам вершин основания:

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

Высота призмы равна 1, поэтому координаты соответствующих вершин верхнего основания получаются добавлением 1 к аппликате:

$A_1 = (1, 0, 1)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем направляющие векторы прямых $BA_1$ и $DE_1$.

$\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

$\vec{v_2} = \vec{DE_1} = E_1 - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Так как $\vec{v_1} = \vec{v_2}$, прямые параллельны.

Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от точки $D$ на одной прямой до прямой $BA_1$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $BA_1$. Как и в первом способе, проверим, не является ли отрезок $BD$ этим перпендикуляром.

Найдем вектор $\vec{BD}$:

$\vec{BD} = D - B = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вычислим скалярное произведение направляющего вектора $\vec{BA_1}$ и вектора $\vec{BD}$:

$\vec{BA_1} \cdot \vec{BD} = (1/2) \cdot (-3/2) + (-\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) + 1 \cdot 0 = -3/4 + 3/4 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, вектор $\vec{BD}$ перпендикулярен прямой $BA_1$. Следовательно, искомое расстояние равно длине вектора $\vec{BD}$.

$|\vec{BD}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Таким образом, искомое расстояние равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.