Номер 13, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $D_1E_1$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BC$ и $D_1E_1$ воспользуемся определением: расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из этих прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Найдем расстояние от прямой $BC$ до плоскости $\alpha$, которая содержит прямую $D_1E_1$ и параллельна прямой $BC$.

По условию, призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной. Это означает, что ее основаниями являются правильные шестиугольники, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Рассмотрим свойство правильного шестиугольника $ABCDEF$. В нем противолежащие стороны попарно параллельны. В частности, сторона $BC$ параллельна стороне $FE$. Запишем это как $BC \parallel FE$.

Так как призма прямая, ее основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны. Проекция отрезка $FE$ на плоскость верхнего основания есть отрезок $F_1E_1$. Следовательно, $FE \parallel F_1E_1$.

Из этого следует, что $BC \parallel F_1E_1$.

Теперь мы можем построить плоскость $\alpha$. Она должна проходить через прямую $D_1E_1$ и быть параллельной прямой $BC$. Поскольку мы нашли прямую $F_1E_1$, которая параллельна $BC$ и пересекает прямую $D_1E_1$ в точке $E_1$, то искомая плоскость $\alpha$ — это плоскость, определяемая пересекающимися прямыми $D_1E_1$ и $F_1E_1$. Обе эти прямые лежат в плоскости верхнего основания призмы. Таким образом, плоскость $\alpha$ совпадает с плоскостью верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Задача свелась к нахождению расстояния от прямой $BC$ до плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Прямая $BC$ целиком лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Так как плоскость нижнего основания параллельна плоскости верхнего основания, искомое расстояние равно расстоянию между этими двумя параллельными плоскостями.

Расстояние между основаниями правильной прямой призмы есть ее высота, которая равна длине любого бокового ребра (например, $BB_1$ или $DD_1$). По условию задачи, все ребра призмы равны 1. Следовательно, высота призмы равна 1.

Таким образом, расстояние между прямыми $BC$ и $D_1E_1$ равно 1.

Ответ: 1