Номер 10, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $AB$ и $B_1C_1$.

11. В

В условии задачи дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1. Это означает, что основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками со стороной 1, а боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований и их длина также равна 1.

Требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $B_1C_1$. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Рассмотрим два способа решения.

Способ 1: Использование параллельной плоскости

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.Найдем расстояние от прямой $AB$ до плоскости, содержащей $B_1C_1$ и параллельной $AB$.

Рассмотрим плоскость верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. Эта плоскость содержит прямую $B_1C_1$.В боковой грани $ABB_1A_1$ (которая является квадратом, так как призма правильная и все ребра равны 1) стороны $AB$ и $A_1B_1$ параллельны.Поскольку прямая $AB$ параллельна прямой $A_1B_1$, которая лежит в плоскости $(A_1B_1C_1)$, то прямая $AB$ параллельна всей плоскости $(A_1B_1C_1)$ по признаку параллельности прямой и плоскости.

Следовательно, искомое расстояние между прямыми $AB$ и $B_1C_1$ равно расстоянию от прямой $AB$ до плоскости $(A_1B_1C_1)$. Так как прямая параллельна плоскости, это расстояние можно найти как длину перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой $AB$ на плоскость $(A_1B_1C_1)$.

Возьмем точку $B$, принадлежащую прямой $AB$. Поскольку призма правильная, она является прямой, а значит боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(A_1B_1C_1)$. Длина ребра $BB_1$ по условию равна 1.Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $(A_1B_1C_1)$ равно 1.

Способ 2: Построение общего перпендикуляра

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым — это отрезок, который соединяет эти прямые и перпендикулярен каждой из них.Рассмотрим ребро $BB_1$.

1. Отрезок $BB_1$ соединяет прямые $AB$ и $B_1C_1$, так как точка $B$ лежит на прямой $AB$, а точка $B_1$ лежит на прямой $B_1C_1$.

2. Проверим перпендикулярность. Грань $ABB_1A_1$ — это квадрат, поэтому угол $\angle ABB_1 = 90^\circ$, что означает $BB_1 \perp AB$.

3. Так как призма прямая, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. Поскольку прямая $B_1C_1$ лежит в этой плоскости, то ребро $BB_1$ перпендикулярно прямой $B_1C_1$.

Поскольку отрезок $BB_1$ соединяет прямые $AB$ и $B_1C_1$ и перпендикулярен им обеим, он является их общим перпендикуляром. Длина этого отрезка равна длине бокового ребра, которая по условию составляет 1.

Ответ: 1.