Номер 5, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $C_1D_1$.

6. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите рассто...

5. Пусть дан единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 1. Требуется найти расстояние между прямыми $AB$ и $C_1D_1$.

Сначала определим взаимное расположение прямых. Прямая $AB$ параллельна прямой $CD$, так как они являются противоположными сторонами квадрата $ABCD$. В свою очередь, прямая $CD$ параллельна прямой $C_1D_1$, так как они являются соответствующими рёбрами оснований куба. Следовательно, по свойству транзитивности, прямая $AB$ параллельна прямой $C_1D_1$ ($AB \parallel CD \parallel C_1D_1$).

Расстояние между параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Найдём отрезок, который соединяет данные прямые и перпендикулярен им обеим. Таким отрезком является диагональ боковой грани $BC_1$.

Докажем, что $BC_1$ перпендикулярен прямым $AB$ и $C_1D_1$.
1. Прямая $AB$ перпендикулярна плоскости грани $BCC_1B_1$, так как ребро $AB$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $AB \perp BC$ (как стороны квадрата) и $AB \perp BB_1$ (так как боковое ребро перпендикулярно основанию). Так как отрезок $BC_1$ лежит в плоскости $BCC_1B_1$, то $AB \perp BC_1$.
2. Прямая $C_1D_1$ также перпендикулярна плоскости грани $BCC_1B_1$. Это следует из того, что ребро $C_1D_1$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $C_1D_1 \perp C_1B_1$ (как стороны квадрата $A_1B_1C_1D_1$) и $C_1D_1 \perp CC_1$ (так как стороны квадрата $CDD_1C_1$). Поскольку отрезок $BC_1$ лежит в плоскости $BCC_1B_1$, то $C_1D_1 \perp BC_1$.

Так как отрезок $BC_1$ соединяет точку $B$ на прямой $AB$ и точку $C_1$ на прямой $C_1D_1$ и перпендикулярен обеим прямым, его длина и есть искомое расстояние.

Найдём длину отрезка $BC_1$. Этот отрезок является диагональю грани $BCC_1B_1$, которая представляет собой квадрат со стороной 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$, где $\angle BCC_1 = 90^\circ$. По теореме Пифагора:
$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$
$BC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$BC_1 = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$