Номер 7, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $DA_1$.

По условию задачи дан единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 1. Необходимо найти расстояние между прямыми $AB$ и $DA_1$. Эти прямые являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Для нахождения искомого расстояния можно применить геометрический подход. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Заметим, что ребро $AB$ перпендикулярно плоскости грани $ADD_1A_1$. Это следует из того, что прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости: $AB \perp AD$ (как стороны квадрата $ABCD$) и $AB \perp AA_1$ (как стороны квадрата $ABB_1A_1$).

Поскольку прямая $DA_1$ целиком лежит в плоскости $(ADD_1A_1)$, а прямая $AB$ перпендикулярна этой плоскости, то расстояние между прямыми $AB$ и $DA_1$ будет равно расстоянию от точки пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(ADD_1A_1)$ до прямой $DA_1$. Точкой пересечения является вершина $A$. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки $A$ до прямой $DA_1$ в плоскости грани $ADD_1A_1$.

Рассмотрим треугольник $ADA_1$. В единичном кубе длины ребер $AD$ и $AA_1$ равны 1. Так как ребро $AD$ перпендикулярно грани $AA_1B_1B$, оно перпендикулярно и ребру $AA_1$, лежащему в этой грани. Следовательно, треугольник $ADA_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. Длина гипотенузы $DA_1$ (которая является диагональю грани-квадрата $ADD_1A_1$) по теореме Пифагора равна:

$DA_1 = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Искомое расстояние — это длина высоты $h$, опущенной из вершины прямого угла $A$ на гипотенузу $DA_1$. Площадь треугольника $ADA_1$ можно вычислить двумя способами. С одной стороны, как половина произведения катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

С другой стороны, как половина произведения гипотенузы на высоту $h$:

$S = \frac{1}{2} \cdot DA_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h$.

Приравняв оба выражения для площади, получим уравнение:

$\frac{1}{2} \sqrt{2} h = \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2:

$\sqrt{2} h = 1$

Отсюда находим высоту $h$:

$h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, расстояние между прямыми $AB$ и $DA_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.