Номер 9, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $EF$.

В основании правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Прямые $BC$ и $EF$ являются сторонами этого шестиугольника.

В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Стороны $BC$ и $EF$ являются противолежащими, следовательно, прямые $BC$ и $EF$ параллельны ($BC \parallel EF$). Обе эти прямые лежат в одной плоскости — плоскости основания пирамиды.

Расстояние между двумя параллельными прямыми — это длина перпендикуляра, проведенного от любой точки одной прямой к другой прямой. В данном случае, задача сводится к нахождению расстояния между параллельными сторонами $BC$ и $EF$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$. Информация о вершине пирамиды $S$ и длине боковых ребер (равной 2) является избыточной для нахождения этого расстояния.

Пусть $O$ — центр правильного шестиугольника $ABCDEF$. Сторона основания по условию равна 1. Правильный шестиугольник со стороной $a$ можно разбить на шесть равносторонних треугольников со стороной $a$. Таким образом, наше основание состоит из шести равносторонних треугольников со стороной 1 (например, $\Delta OBC$ и $\Delta OEF$).

Расстояние между параллельными сторонами $BC$ и $EF$ можно найти как длину отрезка, соединяющего их середины. Пусть $M$ — середина $BC$, а $N$ — середина $EF$. Тогда искомое расстояние равно длине отрезка $MN$.

Отрезок $OM$ является высотой в равностороннем треугольнике $\Delta OBC$. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Так как $a=1$, то длина $OM$ равна:$OM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично, отрезок $ON$ является высотой в равностороннем треугольнике $\Delta OEF$, и его длина также равна $ON = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой, которая перпендикулярна и $BC$, и $EF$. Таким образом, искомое расстояние $MN$ равно сумме длин отрезков $OM$ и $ON$:$\rho(BC, EF) = MN = OM + ON = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.