Номер 2, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $DC_1$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми AB и DC₁ в единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них: геометрический и координатный.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из этих прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

1. Прямая AB принадлежит плоскости основания ABCD. В этой же плоскости лежит ребро DC. Поскольку ABCD является квадратом, прямые AB и DC параллельны ($AB \parallel DC$).

2. Рассмотрим плоскость, содержащую прямую DC₁. Так как прямая AB параллельна прямой DC, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая AB параллельна плоскости задней грани куба (DCC₁D₁), потому что эта плоскость содержит прямую DC.

3. Таким образом, искомое расстояние между прямыми AB и DC₁ равно расстоянию от прямой AB до плоскости (DCC₁D₁), в которой лежит прямая DC₁.

4. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из любой точки прямой к этой плоскости. Выберем на прямой AB точку A.

5. Найдем расстояние от точки A до плоскости (DCC₁D₁). Ребро AD перпендикулярно ребру DC (так как грань ABCD — квадрат). Ребро AD также перпендикулярно ребру DD₁ (так как грань ADD₁A₁ — квадрат). Прямые DC и DD₁ пересекаются и лежат в плоскости (DCC₁D₁).

6. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая AD перпендикулярна всей плоскости (DCC₁D₁). Это означает, что длина отрезка AD является расстоянием от точки A до плоскости (DCC₁D₁).

7. По условию, куб является единичным, поэтому длина его ребра равна 1. Следовательно, $AD = 1$.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине D. Направим ось Ox вдоль ребра DA, ось Oy вдоль ребра DC и ось Oz вдоль ребра DD₁.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты:
A(1, 0, 0)
B(1, 1, 0)
D(0, 0, 0)
C₁(0, 1, 1)

Определим наши прямые через точки и направляющие векторы:
Прямая AB проходит через точку A(1, 0, 0) и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AB} = (1-1, 1-0, 0-0) = (0, 1, 0)$.
Прямая DC₁ проходит через точку D(0, 0, 0) и имеет направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{DC_1} = (0-0, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$.

Расстояние $\rho$ между скрещивающимися прямыми, проходящими через точки $M_1$ и $M_2$ с направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ соответственно, вычисляется по формуле:
$\rho = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$

В нашем случае возьмем $M_1 = A(1, 0, 0)$ и $M_2 = D(0, 0, 0)$. Тогда вектор, соединяющий точки на прямых, это $\vec{M_2M_1} = \vec{DA} = (1-0, 0-0, 0-0) = (1, 0, 0)$.

1. Вычислим векторное произведение направляющих векторов:
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \vec{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 1\vec{i} - 0\vec{j} + 0\vec{k} = (1, 0, 0)$.

2. Найдем модуль векторного произведения:
$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = |(1, 0, 0)| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.

3. Найдем смешанное произведение векторов (скалярное произведение $\vec{DA}$ и $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$):
$\vec{DA} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (1, 0, 0) \cdot (1, 0, 0) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 1$.

4. Подставим найденные значения в формулу для расстояния:
$\rho = \frac{|1|}{1} = 1$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 1.