Номер 17, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AED_1$.

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, ребра

Для решения задачи воспользуемся геометрическим методом. Найдем расстояние от точки $B$ до плоскости $AED_1$.

1. Докажем перпендикулярность плоскостей.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1. Пусть $O$ — центр этого шестиугольника. Тогда треугольники $OAB$, $OBC$, ..., $OFA$ являются равносторонними со стороной 1. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, например, $\angle FAB = 120^\circ$. Угол $\angle OAB = 60^\circ$ (так как $\triangle OAB$ равносторонний). Треугольник $AFE$ является равнобедренным ($AF=EF=1$), и угол $\angle AFE = 120^\circ$. Углы при основании $AE$ равны $\angle FAE = \angle FEA = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ$.

Тогда угол $\angle EAB = \angle FAB - \angle FAE = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$. Это означает, что ребро $AE$ перпендикулярно ребру $AB$, то есть $AE \perp AB$.

Поскольку призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости. Следовательно, $AA_1 \perp AE$.

Так как прямая $AE$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $AA_1$ в плоскости боковой грани $AA_1B_1B$, то прямая $AE$ перпендикулярна всей этой плоскости: $AE \perp (AA_1B_1B)$.

Плоскость $AED_1$ проходит через прямую $AE$, которая перпендикулярна плоскости $AA_1B_1B$. Следовательно, плоскость $AED_1$ перпендикулярна плоскости $AA_1B_1B$.

2. Сведение задачи к планиметрической.

Расстояние от точки $B$, лежащей в плоскости $AA_1B_1B$, до перпендикулярной ей плоскости $AED_1$ равно расстоянию от точки $B$ до линии пересечения этих плоскостей. Найдем эту линию пересечения.

Очевидно, что точка $A$ принадлежит обеим плоскостям. Найдем еще одну общую точку. Докажем, что точка $B_1$ также лежит в плоскости $AED_1$. Для этого покажем, что вектор $\vec{AB_1}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{AE}$ и $\vec{AD_1}$.

Введем систему координат с центром в точке $O$ (центр нижнего основания) и осью $Ox$, проходящей через точки $A$ и $D$. Тогда вершины имеют координаты: $A(-1, 0, 0)$, $B(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D(1, 0, 0)$, $E(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Соответствующие точки верхнего основания имеют $z$-координату 1: $B_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$, $D_1(1, 0, 1)$.

Найдем векторы с началом в точке A:

$\vec{AE} = E - A = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (2, 0, 1)$

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Проверим, существуют ли такие числа $k$ и $m$, что $\vec{AB_1} = k \cdot \vec{AE} + m \cdot \vec{AD_1}$:

$(1/2, \sqrt{3}/2, 1) = k(3/2, -\sqrt{3}/2, 0) + m(2, 0, 1) = (3k/2 + 2m, -k\sqrt{3}/2, m)$

Из равенства $z$-координат следует, что $m=1$.

Из равенства $y$-координат: $\sqrt{3}/2 = -k\sqrt{3}/2 \implies k = -1$.

Проверим $x$-координаты: $1/2 = 3(-1)/2 + 2(1) = -3/2 + 2 = 1/2$. Равенство выполняется.

Таким образом, $\vec{AB_1} = -\vec{AE} + \vec{AD_1}$, что доказывает, что векторы компланарны, и точка $B_1$ лежит в плоскости $AED_1$.

Следовательно, линия пересечения плоскостей $(AED_1)$ и $(AA_1B_1B)$ — это прямая $AB_1$.

3. Вычисление расстояния.

Задача сводится к нахождению расстояния от точки $B$ до прямой $AB_1$ в плоскости квадрата $AA_1B_1B$ со стороной 1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$ с катетами $AB = 1$ и $BB_1 = 1$. Искомое расстояние — это высота $h$, опущенная из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $AB_1$.

Длина гипотенузы $AB_1$ по теореме Пифагора: $AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Площадь треугольника $ABB_1$ можно вычислить двумя способами:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

$S = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h$

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем:

$\frac{1}{2} \sqrt{2} h = \frac{1}{2} \implies h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$