Номер 13, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CFF_1$.

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все реб-

13. По условию, дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1. Требуется найти расстояние от точки $B$ до плоскости $CFF_1$.

Поскольку призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Плоскость $(CFF_1)$ проходит через прямую $FF_1$, следовательно, плоскость $(CFF_1)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

Расстояние от точки $B$, лежащей в плоскости основания, до плоскости $(CFF_1)$, перпендикулярной основанию, равно расстоянию от точки $B$ до линии пересечения этих плоскостей. Линией пересечения плоскостей $(CFF_1)$ и $(ABC)$ является прямая $CF$.

Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от вершины $B$ до прямой $CF$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной 1.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $O$ — центр этого шестиугольника. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны, то есть $OB = OC = OF = 1$. Кроме того, все треугольники с вершиной в центре и стороной шестиугольника в качестве основания (например, $\triangle OBC$) являются равносторонними, так как все их стороны равны 1.

Угол между смежными отрезками, соединяющими центр с вершинами, равен $60^\circ$. Угол $\angle COF = \angle COD + \angle DOE + \angle EOF = 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ$. Это означает, что точки $C, O, F$ лежат на одной прямой, и $CF$ является большой диагональю шестиугольника. Длина этой диагонали $CF = CO + OF = 1 + 1 = 2$.

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $CF$ введем систему координат на плоскости основания. Поместим начало координат в центр шестиугольника $O(0, 0)$. Направим ось абсцисс вдоль прямой $CF$. Тогда вершины $C$ и $F$ будут иметь координаты $C(-1, 0)$ и $F(1, 0)$.

Найдем координаты точки $B(x, y)$. Мы знаем, что $OB=1$ и $BC=1$. Запишем эти условия в виде уравнений:
1. Расстояние от $B(x,y)$ до $O(0,0)$ равно 1: $x^2 + y^2 = 1^2 = 1$.
2. Расстояние от $B(x,y)$ до $C(-1,0)$ равно 1: $(x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = 1^2 \implies (x+1)^2 + y^2 = 1$.

Решим систему уравнений. Из первого уравнения выразим $y^2 = 1 - x^2$ и подставим во второе:
$(x+1)^2 + (1 - x^2) = 1$
$x^2 + 2x + 1 + 1 - x^2 = 1$
$2x + 2 = 1$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$

Теперь найдем $y$:
$y^2 = 1 - x^2 = 1 - (-\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$y = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Исходя из расположения вершин в шестиугольнике ($A,B,C,...$ против часовой стрелки), точка $B$ находится в полуплоскости с $y > 0$. Таким образом, координаты точки $B$ равны $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Прямая $CF$ совпадает с осью абсцисс, ее уравнение $y=0$. Расстояние от точки $B(x_0, y_0)$ до прямой $y=0$ равно $|y_0|$. В нашем случае расстояние равно $|\frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это и есть искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $CFF_1$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$