Номер 18, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CEF_1$.

Для нахождения расстояния от точки $B$ до плоскости $(CEF_1)$ воспользуемся методом проекций. Идея состоит в том, чтобы найти плоскость, перпендикулярную плоскости $(CEF_1)$, спроецировать на нее всю конструкцию и свести трехмерную задачу к двумерной.

1. Рассмотрим плоскость, проходящую через главную диагональ основания $AD$ и боковые ребра $AA_1$ и $DD_1$. Обозначим эту плоскость $\pi=(ADD_1A_1)$. Эта плоскость является плоскостью симметрии для призмы.

2. Докажем, что плоскость $\alpha=(CEF_1)$ перпендикулярна плоскости $\pi$.В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике малая диагональ $CE$ перпендикулярна большой диагонали $AD$. Таким образом, $CE \perp AD$.Так как призма правильная, боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно любой прямой в плоскости основания, в том числе и $CE$. Итак, $CE \perp AA_1$.Поскольку прямая $CE$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AD$ и $AA_1$) в плоскости $\pi$, она перпендикулярна всей плоскости $\pi$.Плоскость $\alpha=(CEF_1)$ содержит прямую $CE$, которая перпендикулярна плоскости $\pi$. Следовательно, плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\pi$.

3. Расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ равно расстоянию от проекции точки $B$ на плоскость $\pi$ до линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\pi$.Обозначим проекцию точки $B$ на плоскость $\pi$ как $B'$.Обозначим линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\pi$ как $L$.Искомое расстояние равно расстоянию от точки $B'$ до прямой $L$ в плоскости $\pi$.

4. Введем на плоскости $\pi$ прямоугольную систему координат $(x, z)$. Пусть центр основания $O$ (середина отрезка $AD$) будет началом координат $O(0,0)$. Ось $x$ направим вдоль луча $OA$, а ось $z$ — вдоль луча $OO_1$.Так как все ребра призмы равны 1, сторона шестиугольника $a=1$, а высота призмы $h=1$. Большая диагональ $AD = 2a = 2$.Координаты вершин прямоугольника $ADD_1A_1$ в этой системе: $A(1,0)$, $D(-1,0)$, $A_1(1,1)$, $D_1(-1,1)$.

5. Найдем координаты точки $B'$ — проекции точки $B$ на плоскость $\pi$.Точка $B'$ лежит на отрезке $AD$. Ее координата $x$ равна длине проекции отрезка $OB$ на ось $Ox$. В шестиугольнике $\triangle AOB$ равносторонний, $\angle AOB = 60^\circ$. Проекция $B$ на $AD$ — это основание высоты треугольника $AOB$, опущенной из вершины $B$. Эта точка делит $OA$ пополам. То есть $x$-координата точки $B'$ равна $OA/2 = 1/2$. Так как $B'$ лежит на оси $x$, ее $z$-координата равна 0. Итак, $B' = (1/2, 0)$.

6. Найдем прямую $L$, которая является линией пересечения плоскостей $\alpha=(CEF_1)$ и $\pi$. Эта прямая лежит в плоскости $\pi$ и определяется проекциями точек $C$, $E$ и $F_1$ на эту плоскость.Проекция точки $C$ на плоскость $\pi$ (то есть на прямую $AD$) — это точка $C'$ на отрезке $OD$. Ее координата $x$ равна $-|OC|\cos(\angle COD) = -1 \cdot \cos(60^\circ) = -1/2$. Итак, $C' = (-1/2, 0)$.Проекция точки $E$ на плоскость $\pi$ совпадает с проекцией точки $C$, то есть $E' = (-1/2, 0)$.Проекция точки $F_1$ на плоскость $\pi$ — это точка $F'_1$. Ее проекция на плоскость основания ($z=0$) совпадает с проекцией точки $B$ (точка с $x=1/2$). Так как $F_1$ находится в верхнем основании, ее $z$-координата равна высоте призмы, то есть 1. Итак, $F'_1 = (1/2, 1)$.Прямая $L$ проходит через точки $C'(-1/2, 0)$ и $F'_1(1/2, 1)$.

7. Составим уравнение прямой $L$ в системе координат $(x, z)$, проходящей через точки $C'(-1/2, 0)$ и $F'_1(1/2, 1)$.Наклон (угловой коэффициент) прямой: $k = \frac{z_2 - z_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 0}{1/2 - (-1/2)} = \frac{1}{1} = 1$.Уравнение прямой: $z - z_1 = k(x - x_1) \Rightarrow z - 0 = 1(x - (-1/2)) \Rightarrow z = x + 1/2$.В общем виде уравнение прямой $L$ таково: $x - z + 1/2 = 0$ или $2x - 2z + 1 = 0$.

8. Найдем расстояние от точки $B'(1/2, 0)$ до прямой $L: x - z + 1/2 = 0$.Используем формулу расстояния от точки $(x_0, z_0)$ до прямой $Ax+Cz+D=0$: $d = \frac{|Ax_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+C^2}}$.В нашем случае $(x_0, z_0) = (1/2, 0)$, а уравнение прямой $x - z + 1/2 = 0$ ($A=1, C=-1, D=1/2$).$d = \frac{|1 \cdot (1/2) - 1 \cdot 0 + 1/2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1/2 + 1/2|}{\sqrt{1+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $(CEF_1)$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.