Номер 15, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости $ACC_1$.

Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее основаниями являются правильные шестиугольники, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. По условию, все ребра призмы равны 1, то есть сторона основания и боковое ребро равны 1.

Плоскость $ACC_1$ проходит через диагональ основания $AC$ и боковое ребро $CC_1$. Так как призма прямая, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Если прямая, принадлежащая одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны. Следовательно, плоскость $ACC_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

Расстояние от точки $B$, лежащей в плоскости основания, до перпендикулярной ей плоскости $ACC_1$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на линию пересечения этих плоскостей. Линией пересечения плоскостей $ABCDEF$ и $ACC_1$ является прямая $AC$. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки $B$ до прямой $AC$ в плоскости основания, то есть к нахождению высоты $BH$ треугольника $ABC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, который лежит в плоскости основания. Стороны $AB$ и $BC$ являются сторонами правильного шестиугольника, поэтому $AB = BC = 1$. Угол $\angle ABC$ является внутренним углом правильного шестиугольника, величина которого вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$ для $n=6$.

$\angle ABC = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AB=BC$). Высота $BH$, проведенная из вершины $B$ к основанию $AC$, является также биссектрисой угла $\angle ABC$.

Следовательно, $\angle ABH = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известна гипотенуза $AB = 1$ и угол $\angle ABH = 60^\circ$. Искомое расстояние равно длине катета $BH$.

Найдем длину катета $BH$ по определению косинуса:

$BH = AB \cdot \cos(\angle ABH) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$ равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$