Номер 16, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DFF_1$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания призмы $ABCDEF$ совпадает с началом координат $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$, перпендикулярно плоскости основания. Основание $ABCDEF$ лежит в плоскости $Oxy$. Пусть вершина $D$ лежит на отрицательной полуоси $Ox$.

Поскольку призма правильная и все ребра равны 1, ее основание — это правильный шестиугольник со стороной 1, вписанный в окружность радиуса $R=1$. Высота призмы также равна 1. Найдем координаты необходимых для решения точек: $B, D, F, F_1$.

Координаты вершин основания можно найти по формуле $(R\cos\alpha, R\sin\alpha, 0)$. Если $D$ соответствует углу $180^\circ$, то:

Точка $D$ имеет координаты $(-1, 0, 0)$.

Вершина $F$ смещена от $D$ на $-120^\circ$ (или $+240^\circ$), поэтому ее угол $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Координаты $F(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0)$, то есть $F(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Погодите, это координаты точки B. Угол для F будет $180-60-60=60$. Нет, это неверно. Если D на $180^\circ$, то E на $240^\circ$, F на $300^\circ$ (или $-60^\circ$), A на $0^\circ$, B на $60^\circ$, C на $120^\circ$.

Давайте используем стандартное расположение, где вершина $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$. Тогда углы для вершин будут: $A: 0^\circ, B: 60^\circ, C: 120^\circ, D: 180^\circ, E: 240^\circ, F: 300^\circ$.

Координаты необходимых точек:

Точка $B$: $(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Точка $D$: $(\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$.

Точка $F$: $(\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Точка $F_1$ лежит над точкой $F$ на высоте 1, поэтому ее координаты $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Теперь составим уравнение плоскости, проходящей через точки $D, F, F_1$.

Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости, например, $\vec{DF}$ и $\vec{FF_1}$.

$\vec{DF} = (1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

$\vec{FF_1} = (1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $DFF_1$ перпендикулярен этим векторам, найдем его как векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{DF} \times \vec{FF_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0) - \vec{j}(\frac{3}{2} \cdot 1 - 0) + \vec{k}(0) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, 0)$.

В качестве вектора нормали можно взять любой коллинеарный вектор. Умножим $\vec{n}$ на $-2$, чтобы упростить: $\vec{n'} = (\sqrt{3}, 3, 0)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим координаты вектора нормали:

$\sqrt{3}x + 3y + 0z + D = 0$.

Для нахождения коэффициента $D$ подставим в уравнение координаты одной из точек плоскости, например, $D(-1, 0, 0)$:

$\sqrt{3}(-1) + 3(0) + D = 0 \Rightarrow D = \sqrt{3}$.

Уравнение плоскости $DFF_1$: $\sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3} = 0$. Разделим все члены на $\sqrt{3}$:

$x + \sqrt{3}y + 1 = 0$.

Искомое расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $x + \sqrt{3}y + 1 = 0$ вычисляется по формуле:

$\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставляем значения $A=1, B=\sqrt{3}, C=0, D=1$ и координаты точки $B(x_0=1/2, y_0=\sqrt{3}/2, z_0=0)$:

$\rho = \frac{|1 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 0^2}} = \frac{|\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{|2 + 1|}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.