Номер 14, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ADD_1$.

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все реб-

Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. По условию, все ребра призмы равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника $ABCDEF$) равна 1, и боковое ребро (высота призмы, например $AA_1$) также равно 1.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до плоскости $ADD_1$.

Плоскость $ADD_1$ проходит через прямую $AD$, лежащую в плоскости основания $ABCDEF$, и боковое ребро $DD_1$. Так как призма является правильной, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости $ABCDEF$.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости взаимно перпендикулярны. Поскольку плоскость $ADD_1$ проходит через прямую $DD_1$, которая перпендикулярна плоскости $ABCDEF$, то плоскость $ADD_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Точка $B$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$. Так как плоскость $ADD_1$ перпендикулярна плоскости $ABCDEF$, искомый перпендикуляр из точки $B$ на плоскость $ADD_1$ будет лежать в плоскости основания. Его длина будет равна расстоянию от точки $B$ до линии пересечения этих двух плоскостей, то есть до прямой $AD$.

Таким образом, задача сводится к планиметрической задаче: найти расстояние от вершины $B$ до большой диагонали $AD$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной 1.

Рассмотрим основание призмы – правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $O$ – его центр. Правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников с вершиной в центре $O$. Треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним, и его стороны равны стороне шестиугольника, то есть $OA = OB = AB = 1$.

Большая диагональ $AD$ проходит через центр шестиугольника $O$. Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $AD$ есть длина высоты $BH$, опущенной из вершины $B$ на прямую $AD$ (или, что то же самое, на сторону $AO$ в треугольнике $\triangle OAB$).

Высота $h$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Для треугольника $\triangle OAB$ сторона $a = 1$. Следовательно, искомое расстояние равно: $BH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$