Номер 11, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $A_1C_1$.

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Это означает, что ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками, а боковые ребра ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований. По условию, все ребра призмы, как стороны оснований, так и боковые, равны 1. Требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми $BC$ и $A_1C_1$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра. Существует несколько способов решения этой задачи.

Способ 1. Использование параллельной плоскости.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из этих прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

1. Рассмотрим прямую $BC$ и прямую $A_1C_1$. Прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$.

2. Так как $ABCA_1B_1C_1$ – призма, ее основания параллельны, то есть плоскость $ABC$ параллельна плоскости $A_1B_1C_1$. Из этого следует, что прямая $BC$, лежащая в плоскости $ABC$, параллельна прямой $B_1C_1$, лежащей в плоскости $A_1B_1C_1$.

3. Так как прямая $BC$ параллельна прямой $B_1C_1$, а $B_1C_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1$, то прямая $BC$ параллельна всей плоскости $A_1B_1C_1$ по признаку параллельности прямой и плоскости.

4. Таким образом, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $BC$ и $A_1C_1$ равно расстоянию от прямой $BC$ до плоскости $A_1B_1C_1$, в которой лежит прямая $A_1C_1$.

5. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки этой прямой на плоскость. Выберем точку $C$ на прямой $BC$. Так как призма правильная (и, следовательно, прямая), боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1$.

6. Длина отрезка $CC_1$ и есть расстояние от точки $C$ до плоскости $A_1B_1C_1$. По условию все ребра призмы равны 1, следовательно, $CC_1 = 1$.

Способ 2. Построение общего перпендикуляра.

Чтобы доказать, что расстояние равно 1, покажем, что отрезок $CC_1$ является общим перпендикуляром к прямым $BC$ и $A_1C_1$.

1. Точка $C$ принадлежит прямой $BC$, а точка $C_1$ принадлежит прямой $A_1C_1$ (как вершина треугольника $A_1B_1C_1$).

2. Докажем, что $CC_1 \perp BC$. Грань $BCC_1B_1$ является боковой гранью правильной призмы, значит, это прямоугольник. Так как все ребра равны 1, эта грань является квадратом. Следовательно, угол $\angle BCC_1 = 90^\circ$, и $CC_1 \perp BC$.

3. Докажем, что $CC_1 \perp A_1C_1$. Боковое ребро $CC_1$ в правильной призме перпендикулярно всей плоскости основания $A_1B_1C_1$. Так как прямая $A_1C_1$ лежит в этой плоскости, то $CC_1 \perp A_1C_1$.

Поскольку отрезок $CC_1$ перпендикулярен обеим скрещивающимся прямым $BC$ и $A_1C_1$ и соединяет их, он является их общим перпендикуляром. Его длина, по условию, равна 1.

Ответ: 1