Страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями $ABC$ и $BDE_1$.

Для нахождения угла между плоскостями $ABC$ и $BDE_1$ воспользуемся методом линейного угла двугранного угла. Угол между двумя плоскостями равен углу между двумя перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях из одной точки.

1. Линией пересечения плоскости основания $ABC$ и секущей плоскости $BDE_1$ является прямая $BD$, так как обе точки $B$ и $D$ принадлежат обеим плоскостям.

2. Чтобы построить линейный угол, выберем на линии пересечения $BD$ точку и проведем из нее два перпендикуляра к $BD$ в каждой из плоскостей. Удобно выбрать точку $D$.

3. Найдем прямую в плоскости основания $ABC$, проходящую через точку $D$ и перпендикулярную к $BD$. Для этого рассмотрим треугольник $BDE$, лежащий в плоскости основания. В основании призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной, равной 1. Найдем длины сторон треугольника $BDE$:

• $DE = 1$, так как это сторона шестиугольника.
• $BD$ — малая диагональ правильного шестиугольника. Ее длина вычисляется по формуле $a\sqrt{3}$, где $a$ — сторона. Таким образом, $BD = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
• $BE$ — большая диагональ правильного шестиугольника. Ее длина равна $2a$. Таким образом, $BE = 2 \cdot 1 = 2$.

Проверим, является ли треугольник $BDE$ прямоугольным, с помощью теоремы Пифагора:$BD^2 + DE^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.$BE^2 = 2^2 = 4$.Поскольку $BD^2 + DE^2 = BE^2$, треугольник $BDE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$. Следовательно, прямая $DE$ перпендикулярна прямой $BD$ ($DE \perp BD$), и при этом $DE$ лежит в плоскости $ABC$.

4. Теперь найдем прямую в плоскости $BDE_1$, проходящую через точку $D$ и перпендикулярную к $BD$. Для этого рассмотрим треугольник $BDE_1$. Найдем длины его сторон:

• $BD = \sqrt{3}$ (из предыдущего шага).
• $DE_1$ — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике $DEE_1$. Призма правильная, поэтому боковое ребро $EE_1$ перпендикулярно основанию. Катеты $DE=1$ (сторона основания) и $EE_1=1$ (все ребра призмы равны 1). По теореме Пифагора: $DE_1^2 = DE^2 + EE_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$, откуда $DE_1 = \sqrt{2}$.
• $BE_1$ — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике $BEE_1$. Катеты $BE=2$ и $EE_1=1$. По теореме Пифагора: $BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 5$, откуда $BE_1 = \sqrt{5}$.

Проверим, является ли треугольник $BDE_1$ прямоугольным:$BD^2 + DE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$.$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.Поскольку $BD^2 + DE_1^2 = BE_1^2$, треугольник $BDE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$. Следовательно, прямая $DE_1$ перпендикулярна прямой $BD$ ($DE_1 \perp BD$), и $DE_1$ лежит в плоскости $BDE_1$.

5. Мы нашли два перпендикуляра к общей прямой $BD$, проведенные из одной точки $D$: $DE$ в плоскости $ABC$ и $DE_1$ в плоскости $BDE_1$. Следовательно, искомый угол между плоскостями равен углу между этими прямыми, то есть $\angle EDE_1$.Рассмотрим треугольник $EDE_1$. Он является прямоугольным, так как ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и прямой $DE$, лежащей в этой плоскости ($\angle E_1ED = 90^\circ$). Катеты этого треугольника равны: $DE = 1$ и $EE_1 = 1$.Таким образом, $\triangle EDE_1$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, и его острые углы равны $45^\circ$.Угол $\angle EDE_1$ является одним из этих острых углов.Можно также вычислить через тангенс:$\tan(\angle EDE_1) = \frac{EE_1}{DE} = \frac{1}{1} = 1$.Отсюда $\angle EDE_1 = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: 45°.

ра которой равна 1, найдите угол между плоскостями $ABC$ и $BDD_1$;

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ найдите

угол между плоскостями $ACC_1$ и $BFF_1$.

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ найдите

Пусть $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма. Это означает, что её основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ являются правильными шестиугольниками, а боковые рёбра (такие как $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и т.д.) перпендикулярны плоскостям оснований.

Требуется найти угол между плоскостями $(ACC_1)$ и $(BFF_1)$.

Плоскость $(ACC_1)$ определяется точками $A, C, C_1$. Так как ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, то и вся плоскость $(ACC_1)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

Аналогично, плоскость $(BFF_1)$ определяется точками $B, F, F_1$. Так как ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, то и вся плоскость $(BFF_1)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

Угол между двумя плоскостями, которые перпендикулярны третьей плоскости, равен углу между их линиями пересечения с этой третьей плоскостью.

Линией пересечения плоскости $(ACC_1)$ с плоскостью основания $(ABC)$ является прямая $AC$.
Линией пересечения плоскости $(BFF_1)$ с плоскостью основания $(ABC)$ является прямая $BF$.

Таким образом, задача сводится к нахождению угла между диагоналями $AC$ и $BF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$.

Рассмотрим основание — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть длина стороны шестиугольника равна $a$. Все внутренние углы правильного шестиугольника равны $120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. В нём $AB = BC = a$ (как стороны правильного шестиугольника), а угол $\angle ABC = 120^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным. Углы при его основании $AC$ равны:
$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle FAB$. В нём $FA = AB = a$, а угол $\angle FAB = 120^\circ$. Этот треугольник также является равнобедренным. Углы при его основании $BF$ равны:
$\angle ABF = \angle AFB = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Пусть диагонали $AC$ и $BF$ пересекаются в точке $P$. Рассмотрим треугольник $\triangle APB$. В этом треугольнике нам известны два угла:
$\angle PAB = \angle CAB = 30^\circ$
$\angle PBA = \angle FBA = 30^\circ$

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle APB$ равен:
$\angle APB = 180^\circ - (\angle PAB + \angle PBA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Угол $\angle APB = 120^\circ$ является одним из углов, образованных при пересечении прямых $AC$ и $BF$. По определению, угол между прямыми — это наименьший (острый) из углов, образованных при их пересечении. Смежный с $\angle APB$ угол равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $BF$, а значит и между плоскостями $(ACC_1)$ и $(BFF_1)$, равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, найдите

угол между плоскостями $ADD_1$ и $BFF_1$.

16. В правильной шестиугольной призм

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ являются правильными шестиугольниками, а боковые ребра ($AA_1, BB_1$ и т.д.) перпендикулярны плоскостям оснований.

Плоскость $ADD_1$ проходит через точки $A, D, D_1$ и содержит боковые ребра $AA_1$ и $DD_1$. Аналогично, плоскость $BFF_1$ содержит ребра $BB_1$ и $FF_1$. Так как боковые ребра перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$, то и плоскости $ADD_1$ и $BFF_1$ перпендикулярны плоскости основания.

Угол между двумя плоскостями, перпендикулярными к третьей плоскости, равен углу между их линиями пересечения с этой третьей плоскостью.

Линией пересечения плоскости $ADD_1$ с плоскостью основания $ABCDEF$ является прямая $AD$. Линией пересечения плоскости $BFF_1$ с плоскостью основания $ABCDEF$ является прямая $BF$.

Таким образом, задача сводится к нахождению угла между диагоналями $AD$ и $BF$ в плоскости правильного шестиугольника $ABCDEF$.

Рассмотрим основание — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Большая диагональ $AD$ проходит через центр шестиугольника и является его осью симметрии. Вершины $B$ и $F$ симметричны друг другу относительно прямой $AD$. По свойству осевой симметрии, отрезок, соединяющий две симметричные точки (в нашем случае $BF$), перпендикулярен оси симметрии ($AD$).

Следовательно, угол между прямыми $AD$ и $BF$ равен $90^\circ$. Этот же результат можно получить, рассмотрев четырехугольник $ABDF$, который является дельтоидом (его смежные стороны попарно равны: $AB=AF$ и $BD=FD$), а диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны.

Поскольку искомый угол между плоскостями равен углу между прямыми $AD$ и $BF$, он также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями $ABC$ и $BCE_1$.

Искомый угол — это двугранный угол между плоскостью основания $ABCDEF$ и плоскостью сечения $BCE_1$. Величиной двугранного угла является его линейный угол, который образован двумя лучами, проведенными в каждой из плоскостей перпендикулярно их линии пересечения из одной точки на ней.

Линией пересечения плоскостей $ABC$ и $BCE_1$ является прямая $BC$.

Построим перпендикуляр к прямой $BC$ в плоскости основания $ABC$. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Рассмотрим треугольник $BCE$, который целиком лежит в плоскости основания. Длины его сторон:

• $BC = 1$ (по условию).
• $BE$ — большая диагональ правильного шестиугольника со стороной 1, ее длина равна $2$.
• $CE$ — малая диагональ. Ее можно найти по теореме косинусов из треугольника $CDE$, где $CD=DE=1$, а угол $\angle CDE = 120^\circ$:$CE^2 = CD^2 + DE^2 - 2 \cdot CD \cdot DE \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.Отсюда $CE = \sqrt{3}$.

Теперь построим перпендикуляр к прямой $BC$ в плоскости $BCE_1$. Так как призма правильная, боковое ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Прямая $CE$ является проекцией наклонной $CE_1$ на плоскость основания. Поскольку проекция ($CE$) перпендикулярна прямой ($BC$), лежащей в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах сама наклонная ($CE_1$) также перпендикулярна этой прямой ($BC$).

Итак, мы имеем два перпендикуляра к линии пересечения $BC$, проведенные из точки $C$: $CE$ в плоскости $ABC$ и $CE_1$ в плоскости $BCE_1$. Угол между этими прямыми, $\angle ECE_1$, и есть искомый линейный угол двугранного угла.

Найдем величину угла $\angle ECE_1$. Рассмотрим треугольник $ECE_1$. Он прямоугольный, так как ребро $EE_1$ перпендикулярно основанию и, следовательно, любой прямой, лежащей в основании, в том числе и $CE$. Угол $\angle CEE_1 = 90^\circ$.Катеты этого треугольника равны:$CE = \sqrt{3}$ (как было найдено ранее).$EE_1 = 1$ (по условию, все ребра призмы равны 1).Найдем тангенс искомого угла $\alpha = \angle ECE_1$:$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{EE_1}{CE} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями $BCE_1$ и $BCC_1$.

Угол между двумя плоскостями – это угол между перпендикулярами, проведенными в каждой плоскости к их линии пересечения из одной точки.Плоскости $(BCE_1)$ и $(BCC_1)$ пересекаются по прямой $BC$. Следовательно, для нахождения угла между плоскостями необходимо построить линейный угол соответствующего двугранного угла.

В правильной шестиугольной призме боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Значит, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Так как прямая $BC$ лежит в плоскости основания, то $CC_1 \perp BC$. Прямая $CC_1$ лежит в плоскости $(BCC_1)$.

Теперь найдем прямую в плоскости $(BCE_1)$, перпендикулярную $BC$. Для этого рассмотрим основание призмы – правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, т.е. $\angle BCD = 120^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle BCE$. По условию, все ребра призмы равны $1$, значит $BC=1$. Длина большей диагонали правильного шестиугольника в два раза больше его стороны, поэтому $BE = 2$. Длину меньшей диагонали $CE$ найдем по теореме косинусов из треугольника $\triangle CDE$:$CE^2 = CD^2 + DE^2 - 2 \cdot CD \cdot DE \cdot \cos(\angle CDE) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3$.Отсюда $CE = \sqrt{3}$.Проверим, выполняется ли для треугольника $\triangle BCE$ теорема Пифагора:$BC^2 + CE^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.$BE^2 = 2^2 = 4$.Так как $BC^2 + CE^2 = BE^2$, то треугольник $\triangle BCE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, то есть $\angle BCE = 90^\circ$. Это означает, что $CE \perp BC$.

Теперь применим теорему о трех перпендикулярах. Прямая $E_1E$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$, поэтому $E_1E$ является перпендикуляром, а $CE_1$ – наклонной к плоскости $(ABC)$. Прямая $CE$ является проекцией наклонной $CE_1$ на плоскость $(ABC)$. Поскольку проекция $CE$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости, то и сама наклонная $CE_1$ перпендикулярна этой прямой $BC$.

Таким образом, мы нашли две прямые, $CC_1$ и $CE_1$, которые перпендикулярны общей прямой $BC$ и проходят через одну точку $C$. Угол между плоскостями $(BCC_1)$ и $(BCE_1)$ равен углу между этими прямыми, то есть $\angle E_1CC_1$.

Найдем этот угол, рассмотрев треугольник $\triangle E_1CC_1$. Найдем длины его сторон:1. $CC_1 = 1$ (длина бокового ребра).2. $C_1E_1$ - это диагональ в верхнем основании, соответствующая диагонали $CE$ в нижнем. Следовательно, $C_1E_1 = CE = \sqrt{3}$.3. Длину $CE_1$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle ECE_1$ (он прямоугольный, так как $E_1E \perp CE$). По теореме Пифагора:$CE_1^2 = CE^2 + EE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.Значит, $CE_1 = 2$.

В треугольнике $\triangle E_1CC_1$ известны все три стороны: $CC_1 = 1$, $C_1E_1 = \sqrt{3}$, $CE_1 = 2$. Заметим, что $CC_1^2 + C_1E_1^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$ и $CE_1^2 = 2^2 = 4$. Так как сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей, треугольник $\triangle E_1CC_1$ является прямоугольным с гипотенузой $CE_1$ и прямым углом $\angle CC_1E_1 = 90^\circ$.Искомый угол $\alpha = \angle E_1CC_1$. В прямоугольном треугольнике $\triangle E_1CC_1$ косинус этого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:$\cos(\alpha) = \frac{CC_1}{CE_1} = \frac{1}{2}$.Отсюда $\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой AC.

1. Чтобы найти расстояние от точки B до прямой AC в единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, мы можем рассмотреть плоскость, в которой лежат эти точка и прямая. Точки A, B и C лежат в плоскости нижнего основания куба, которое представляет собой квадрат ABCD.

Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1. Таким образом, в квадрате ABCD длины сторон $AB = 1$ и $BC = 1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как ABCD — квадрат, угол $\angle ABC$ является прямым, то есть $\angle ABC = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABC$ — это прямоугольный треугольник с катетами AB и BC.

Расстояние от точки B до прямой AC по определению является длиной перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую AC. Обозначим основание этого перпендикуляра как H. Таким образом, нам нужно найти длину высоты BH в треугольнике $\triangle ABC$.

Мы можем найти длину BH, вычислив площадь треугольника $\triangle ABC$ двумя способами.

Способ 1: Через катеты.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Способ 2: Через основание (гипотенузу) и высоту.

Площадь треугольника также равна половине произведения его основания на высоту. В нашем случае, основание — это гипотенуза AC, а высота — BH.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$

Сначала найдем длину гипотенузы AC с помощью теоремы Пифагора в треугольнике $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$AC = \sqrt{2}$

Теперь приравняем два выражения для площади, чтобы найти BH:

$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2}$

$\sqrt{2} \cdot BH = 1$

$BH = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$BH = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, расстояние от точки B до прямой AC равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$.

Рассмотрим грань куба $ABB₁A₁$. Так как $ABCDA₁B₁C₁D₁$ — единичный куб, то все его ребра равны 1, а грани являются квадратами.

Точки $A$, $B$ и $B₁$ лежат в плоскости грани $ABB₁A₁$ и образуют треугольник $\triangle ABB₁$.

В этом треугольнике сторона $AB$ является ребром куба, поэтому $AB = 1$. Сторона $BB₁$ также является ребром куба, $BB₁ = 1$. Угол $\angle ABB₁$ является прямым, так как грань $ABB₁A₁$ — это квадрат. Таким образом, $\triangle ABB₁$ — прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами $AB=1$ и $BB₁=1$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $AB₁$ по определению является длиной перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $AB₁$. Обозначим этот перпендикуляр как $BH$, где $H$ — точка на прямой $AB₁$. Длина отрезка $BH$ является высотой треугольника $\triangle ABB₁$, проведенной из вершины прямого угла $B$ к гипотенузе $AB₁$.

Сначала найдем длину гипотенузы $AB₁$ по теореме Пифагора для треугольника $\triangle ABB₁$:

$AB₁^2 = AB^2 + BB₁^2$

$AB₁^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$AB₁ = \sqrt{2}$

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить как половину произведения его катетов:

$S_{\triangle ABB₁} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB₁ = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

С другой стороны, площадь любого треугольника можно найти как половину произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Используем в качестве основания гипотенузу $AB₁$ и высоту $BH$:

$S_{\triangle ABB₁} = \frac{1}{2} \cdot AB₁ \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot BH$

Приравняв два выражения для площади, мы можем найти искомую высоту $BH$:

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot BH = \frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\sqrt{2} \cdot BH = 1$

Отсюда находим $BH$:

$BH = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$BH = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $AB₁$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$.

4. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до

3. Чтобы найти расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$ в единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, мы можем рассмотреть треугольник $BCB_1$. Искомое расстояние будет равно длине высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $CB_1$ в этом треугольнике.

Поскольку куб является единичным, длина его ребра равна 1. Таким образом, длины сторон $BC$ и $BB_1$ равны 1.$BC = 1$, $BB_1 = 1$.

Грань $BCC_1B_1$ является квадратом, а ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, и, следовательно, перпендикулярно ребру $BC$. Это означает, что угол $\angle CBB_1 = 90^\circ$, и треугольник $BCB_1$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $BCB_1$ стороны $BC$ и $BB_1$ являются катетами, а $CB_1$ — гипотенузой. Найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора:$CB_1^2 = BC^2 + BB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.$CB_1 = \sqrt{2}$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$ — это высота $h$, проведенная из вершины прямого угла $B$ к гипотенузе $CB_1$. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:1. Как половина произведения катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1$.2. Как половина произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot h$.

Приравняем эти два выражения для площади:$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot h$.$BC \cdot BB_1 = CB_1 \cdot h$.$1 \cdot 1 = \sqrt{2} \cdot h$.$h = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем:$h = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. В единичном кубе $ABCD, B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки В до прямой $AD_1$.

5. В единичном кубе $ABCD, B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки В до

4. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ требуется найти расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, проведенного от точки к этой прямой.

Рассмотрим плоскость задней грани куба $(ADD_1)$. Прямая $A_1D_1$ лежит в этой плоскости.

Ребро $AB$ перпендикулярно плоскости $(ADD_1)$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым этой плоскости: $AB \perp AD$ и $AB \perp AA_1$ (по свойству ребер куба).

Рассмотрим отрезок $BA_1$ как наклонную к плоскости $(ADD_1)$. Тогда отрезок $AA_1$ является ее проекцией на эту плоскость.

Прямая $A_1D_1$ лежит в плоскости $(ADD_1)$ и перпендикулярна проекции $AA_1$ (так как $ADD_1A_1$ — квадрат).

По теореме о трех перпендикулярах, если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. Следовательно, $A_1D_1 \perp BA_1$.

Это означает, что длина отрезка $BA_1$ является искомым расстоянием от точки $B$ до прямой $A_1D_1$.

Найдем длину $BA_1$. Отрезок $BA_1$ — это диагональ грани $ABB_1A_1$, которая является квадратом со стороной 1. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle ABA_1$:

$BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

5. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой $C_1D_1$.

5. Для решения задачи воспользуемся свойствами единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра такого куба равна 1.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Нам нужно найти длину перпендикуляра из точки B на прямую $C_1D_1$.

Рассмотрим взаимное расположение прямой $C_1D_1$ и плоскости грани $BCC_1B_1$.

1. Прямая $C_1D_1$ перпендикулярна прямой $B_1C_1$, так как они являются ребрами квадрата $A_1B_1C_1D_1$.

2. Прямая $C_1D_1$ перпендикулярна прямой $CC_1$, так как ребро $CC_1$ перпендикулярно всей плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$, в которой лежит прямая $C_1D_1$. (Альтернативно, $C_1D_1 \perp CC_1$ так как они ребра квадрата $CDD_1C_1$).

Прямые $B_1C_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $C_1$ и задают плоскость грани $BCC_1B_1$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, прямая $C_1D_1$ перпендикулярна плоскости $BCC_1B_1$.

Это означает, что прямая $C_1D_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $BCC_1B_1$. Отрезок $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$ и, следовательно, лежит в этой плоскости. Значит, $C_1D_1 \perp BC_1$.

Поскольку $BC_1$ соединяет точку B с точкой $C_1$ на прямой $C_1D_1$ и является перпендикуляром к этой прямой, то длина отрезка $BC_1$ и есть искомое расстояние от точки B до прямой $C_1D_1$.

Найдем длину диагонали $BC_1$ грани $BCC_1B_1$. Грань $BCC_1B_1$ — это квадрат со стороной 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$ (угол C — прямой). По теореме Пифагора:

$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$

$BC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$BC_1 = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

6. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $DD_1$.

7. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до

6. Рассмотрим единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В единичном кубе длина каждого ребра равна 1. Нам необходимо найти расстояние от точки $B$ до прямой $DD_1$.

Расстояние от точки до прямой определяется как длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Ребро $DD_1$ является боковым ребром куба и, по свойству куба, оно перпендикулярно плоскости основания $ABCD$.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Диагональ основания $BD$ целиком лежит в плоскости $ABCD$. Следовательно, прямая $DD_1$ перпендикулярна прямой $BD$. Точка их пересечения — это вершина $D$.

Это означает, что отрезок $BD$ и есть тот самый перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на прямую $DD_1$. Таким образом, искомое расстояние равно длине отрезка $BD$.

Найдем длину диагонали $BD$ квадрата $ABCD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (угол $A$ равен $90^\circ$, так как $ABCD$ — квадрат). По теореме Пифагора:

$BD^2 = AB^2 + AD^2$

Так как куб единичный, длины его ребер равны 1, то есть $AB = 1$ и $AD = 1$.

$BD^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

Отсюда, $BD = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

7. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A_1C_1$.

8. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A_1C_1$.

7. Чтобы найти расстояние от точки B до прямой A₁C₁, рассмотрим треугольник BA₁C₁. Искомое расстояние будет равно высоте этого треугольника, опущенной из вершины B на сторону A₁C₁.

Найдем длины сторон треугольника BA₁C₁ в единичном кубе, где длина ребра равна 1.

1. Сторона A₁C₁ является диагональю верхней грани куба A₁B₁C₁D₁. Эта грань — квадрат со стороной 1. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно:

$|A₁C₁| = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

2. Сторона BA₁ является диагональю боковой грани ABB₁A₁. Эта грань — также квадрат со стороной 1. Следовательно:

$|BA₁| = \sqrt{|AB|^2 + |AA₁|^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

3. Сторона BC₁ является диагональю боковой грани BCC₁B₁. Эта грань — также квадрат со стороной 1. Следовательно:

$|BC₁| = \sqrt{|BC|^2 + |CC₁|^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Поскольку все три стороны треугольника BA₁C₁ равны $\sqrt{2}$, этот треугольник является равносторонним.

Расстояние от точки B до прямой A₁C₁ — это высота равностороннего треугольника BA₁C₁. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае сторона $a = \sqrt{2}$. Подставим это значение в формулу:

$h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Таким образом, искомое расстояние от точки B до прямой A₁C₁ равно $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

8. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $DA_1$.

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Обозначим искомое расстояние от точки $B$ до прямой $DA_1$ как $h$.

Рассмотрим треугольник $BDA_1$. Искомое расстояние $h$ является высотой этого треугольника, проведенной из вершины $B$ к стороне $DA_1$. Для нахождения высоты найдем длины сторон этого треугольника.

По условию, куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный, значит, длина его ребра равна 1.

1. Сторона $BD$ является диагональю грани (квадрата) $ABCD$. Из прямоугольного треугольника $ABD$ по теореме Пифагора находим:$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.Следовательно, $BD = \sqrt{2}$.

2. Сторона $DA_1$ является диагональю грани (квадрата) $ADD_1A_1$. Из прямоугольного треугольника $ADD_1$ по теореме Пифагора находим:$DA_1^2 = AD^2 + DD_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.Следовательно, $DA_1 = \sqrt{2}$.

3. Сторона $BA_1$ является диагональю грани (квадрата) $ABB_1A_1$. Из прямоугольного треугольника $ABA_1$ по теореме Пифагора находим:$BA_1^2 = AB^2 + AA_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.Следовательно, $BA_1 = \sqrt{2}$.

Поскольку все стороны треугольника $BDA_1$ равны ($BD = DA_1 = BA_1 = \sqrt{2}$), то этот треугольник является равносторонним.

Искомое расстояние $h$ — это высота равностороннего треугольника со стороной $a = \sqrt{2}$. Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значение стороны $a = \sqrt{2}$ в формулу:$h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

9. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $DC_1$.

10. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой

Способ 1: Геометрический

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $DC_1$, рассмотрим треугольник $BDC_1$. Искомое расстояние равно высоте этого треугольника, опущенной из вершины $B$ на сторону $DC_1$. Чтобы определить вид треугольника и найти его высоту, вычислим длины его сторон.

По условию, куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является единичным, следовательно, длина каждого его ребра равна 1.

1. Сторона $DC_1$ является диагональю грани $DCC_1D_1$. Грань $DCC_1D_1$ — это квадрат со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $DCC_1$:
$DC_1^2 = DC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
Отсюда $DC_1 = \sqrt{2}$.

2. Сторона $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. Грань $BCC_1B_1$ — это квадрат со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$:
$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
Отсюда $BC_1 = \sqrt{2}$.

3. Сторона $BD$ является диагональю основания $ABCD$. Грань $ABCD$ — это квадрат со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCD$:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
Отсюда $BD = \sqrt{2}$.

Поскольку все три стороны треугольника $BDC_1$ равны ($DC_1 = BC_1 = BD = \sqrt{2}$), этот треугольник является равносторонним.

Расстояние от точки $B$ до прямой $DC_1$ — это высота $h$ равностороннего треугольника $BDC_1$. Высоту равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае сторона $a = \sqrt{2}$. Подставляем это значение в формулу:
$h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Способ 2: Координатный

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $DA$, ось $Oy$ вдоль $DC$, ось $Oz$ вдоль $DD_1$.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты:
$D(0, 0, 0)$, $C(0, 1, 0)$, $B(1, 1, 0)$, $C_1(0, 1, 1)$.

Нам нужно найти расстояние от точки $B(1, 1, 0)$ до прямой $DC_1$. Прямая $DC_1$ проходит через точку $D(0, 0, 0)$ с направляющим вектором $\vec{s} = \vec{DC_1}$.
$\vec{s} = (0-0, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$.

Расстояние $d$ от точки $M_0$ до прямой, проходящей через точку $M_1$ с направляющим вектором $\vec{s}$, вычисляется по формуле: $d = \frac{|\vec{M_1M_0} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}$.

В нашем случае $M_1$ — это точка $D(0, 0, 0)$, а $M_0$ — это точка $B(1, 1, 0)$.
Вектор $\vec{M_1M_0} = \vec{DB} = (1-0, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)$.

Найдем векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{s}$:
$\vec{DB} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = \vec{i} - \vec{j} + \vec{k} = (1, -1, 1)$.

Найдем модуль (длину) этого векторного произведения:
$|\vec{DB} \times \vec{s}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Найдем модуль (длину) направляющего вектора $\vec{s}$:
$|\vec{s}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$.

Теперь вычислим искомое расстояние $d$:
$d = \frac{|\vec{DB} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

10. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$.

По условию, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1. Это означает, что ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками со стороной 1, а боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ перпендикулярны основаниям и также равны 1.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$. Искомое расстояние — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $AB_1$. Этот перпендикуляр лежит в плоскости треугольника $ABB_1$.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$.
- Сторона $AB$ является ребром основания, поэтому $AB = 1$.
- Сторона $BB_1$ является боковым ребром, поэтому $BB_1 = 1$.
- Так как призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и ребру $AB$. Таким образом, угол $\angle ABB_1 = 90^\circ$.

Отсюда следует, что треугольник $ABB_1$ является прямоугольным и равнобедренным. Катеты этого треугольника — $AB$ и $BB_1$, а гипотенуза — $AB_1$.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AB_1$:
$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$AB_1 = \sqrt{2}$

Расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$ — это высота $h$, проведенная из вершины прямого угла $B$ к гипотенузе $AB_1$. Площадь прямоугольного треугольника $ABB_1$ можно вычислить двумя способами.
1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
2. Через гипотенузу и высоту к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h$.

Приравняв два выражения для площади, получим уравнение:
$\frac{1}{2} \sqrt{2} h = \frac{1}{2}$

Решим уравнение относительно $h$:
$\sqrt{2} h = 1$
$h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$.

11. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$.

По условию задачи, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1. Это означает, что основаниями призмы являются равносторонние треугольники со стороной 1, а боковые грани — квадраты со стороной 1.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$. Точки $B$, $C$ и $B_1$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Так как все ребра призмы равны 1, боковая грань $BCC_1B_1$ является квадратом со стороной 1.

Рассмотрим треугольник $\triangle BCB_1$. Он образован стороной основания $BC$, боковым ребром $BB_1$ и диагональю боковой грани $CB_1$. Так как грань $BCC_1B_1$ — квадрат, угол $\angle CBB_1$ прямой и равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle BCB_1$ является прямоугольным. Его катеты $BC$ и $BB_1$ равны 1.

Расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$ — это длина высоты $h$, опущенной из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $CB_1$.

Сначала найдем длину гипотенузы $CB_1$ по теореме Пифагора:$CB_1 = \sqrt{BC^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Площадь прямоугольного треугольника $\triangle BCB_1$ можно найти двумя способами.С одной стороны, площадь равна половине произведения катетов:$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

С другой стороны, площадь равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней:$S = \frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h$.

Приравняем два выражения для площади, чтобы найти высоту $h$:$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h = \frac{1}{2}$$\sqrt{2} \cdot h = 1$$h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

12.

В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A_1 C_1$.

В тетраэдре $ABCD$ все ребра которого равны 1, найдите расстояние

12. По условию, в правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1. Это значит, что основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — равносторонние треугольники со стороной 1, а боковые ребра ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$) перпендикулярны основаниям и их длина также равна 1.

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1C_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $A_1C_1$. Обозначим этот перпендикуляр $BH$, где точка $H$ лежит на прямой $A_1C_1$. Таким образом, искомое расстояние — это длина высоты $BH$ в треугольнике $BA_1C_1$.

Найдем стороны треугольника $BA_1C_1$. Сторона $A_1C_1$ является ребром основания, следовательно, $A_1C_1=1$.Сторону $BA_1$ найдем из прямоугольного треугольника $A_1AB$ (угол $\angle A_1AB=90^\circ$, так как призма прямая). По теореме Пифагора: $BA_1^2 = AA_1^2 + AB^2 = 1^2 + 1^2 = 2$, откуда $BA_1 = \sqrt{2}$.Аналогично, из прямоугольного треугольника $C_1CB$ найдем сторону $BC_1$: $BC_1^2 = CC_1^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$, откуда $BC_1 = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $BA_1C_1$ — равнобедренный, с основанием $A_1C_1=1$ и боковыми сторонами $BA_1 = BC_1 = \sqrt{2}$. Высота $BH$, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике является также и медианой. Следовательно, точка $H$ — середина отрезка $A_1C_1$, и $A_1H = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHA_1$. Применяя теорему Пифагора, находим искомую высоту $BH$:$BH^2 = BA_1^2 - A_1H^2 = (\sqrt{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.$BH = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$.

13. В тетраэдре $ABCD$, все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CD$.

14. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой

13. По условию, дан тетраэдр $ABCD$, все ребра которого равны 1. Это означает, что тетраэдр является правильным, а все его грани — равносторонние треугольники со стороной 1.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до прямой $CD$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, проведенного из точки $B$ на прямую $CD$.

Рассмотрим грань $BCD$. Эта грань представляет собой равносторонний треугольник со сторонами $BC = CD = BD = 1$.

Искомое расстояние от вершины $B$ до прямой $CD$ является высотой треугольника $BCD$, проведенной из вершины $B$ к основанию $CD$. Обозначим эту высоту $BH$, где точка $H$ лежит на прямой $CD$.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к стороне, является также медианой. Следовательно, точка $H$ является серединой отрезка $CD$.

Таким образом, длина отрезка $CH$ равна половине длины стороны $CD$:

$CH = \frac{1}{2} \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (с прямым углом при вершине $H$). Его гипотенуза $BC = 1$, а катет $CH = \frac{1}{2}$. Найдем длину второго катета $BH$ по теореме Пифагора:

$BC^2 = BH^2 + CH^2$

$1^2 = BH^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$1 = BH^2 + \frac{1}{4}$

$BH^2 = 1 - \frac{1}{4}$

$BH^2 = \frac{3}{4}$

$BH = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $CD$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

от 10 или В до прямой CD.

14. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки S до прямой BC.

В условии задачи дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основании пирамиды лежит квадрат ABCD со стороной 1, и все боковые ребра (SA, SB, SC, SD) также равны 1.

Требуется найти расстояние от точки S (вершины пирамиды) до прямой BC. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Рассмотрим боковую грань пирамиды — треугольник SBC. Его стороны образованы ребрами SB, SC и BC. По условию, все эти ребра равны 1. Следовательно, треугольник SBC является равносторонним со стороной $a = 1$.

Расстояние от точки S до прямой BC является высотой этого треугольника, проведенной из вершины S к основанию BC. Обозначим эту высоту как SH, где H — точка на прямой BC.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это значит, что точка H делит сторону BC пополам. Таким образом, длина отрезка HC равна:
$HC = \frac{BC}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник SHC (угол SHC прямой). В нем:

• SC — гипотенуза, равная 1.
• HC — катет, равный $\frac{1}{2}$.
• SH — второй катет, длину которого нам нужно найти.

Таким образом, искомое расстояние от точки S до прямой BC равно высоте равностороннего треугольника SBC и составляет $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$