Номер 11, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$.

11. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$.

По условию задачи, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1. Это означает, что основаниями призмы являются равносторонние треугольники со стороной 1, а боковые грани — квадраты со стороной 1.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$. Точки $B$, $C$ и $B_1$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Так как все ребра призмы равны 1, боковая грань $BCC_1B_1$ является квадратом со стороной 1.

Рассмотрим треугольник $\triangle BCB_1$. Он образован стороной основания $BC$, боковым ребром $BB_1$ и диагональю боковой грани $CB_1$. Так как грань $BCC_1B_1$ — квадрат, угол $\angle CBB_1$ прямой и равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle BCB_1$ является прямоугольным. Его катеты $BC$ и $BB_1$ равны 1.

Расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$ — это длина высоты $h$, опущенной из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $CB_1$.

Сначала найдем длину гипотенузы $CB_1$ по теореме Пифагора:$CB_1 = \sqrt{BC^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Площадь прямоугольного треугольника $\triangle BCB_1$ можно найти двумя способами.С одной стороны, площадь равна половине произведения катетов:$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

С другой стороны, площадь равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней:$S = \frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h$.

Приравняем два выражения для площади, чтобы найти высоту $h$:$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h = \frac{1}{2}$$\sqrt{2} \cdot h = 1$$h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.