Номер 9, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $DC_1$.

10. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой

Способ 1: Геометрический

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $DC_1$, рассмотрим треугольник $BDC_1$. Искомое расстояние равно высоте этого треугольника, опущенной из вершины $B$ на сторону $DC_1$. Чтобы определить вид треугольника и найти его высоту, вычислим длины его сторон.

По условию, куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является единичным, следовательно, длина каждого его ребра равна 1.

1. Сторона $DC_1$ является диагональю грани $DCC_1D_1$. Грань $DCC_1D_1$ — это квадрат со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $DCC_1$:
$DC_1^2 = DC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
Отсюда $DC_1 = \sqrt{2}$.

2. Сторона $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. Грань $BCC_1B_1$ — это квадрат со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$:
$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
Отсюда $BC_1 = \sqrt{2}$.

3. Сторона $BD$ является диагональю основания $ABCD$. Грань $ABCD$ — это квадрат со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCD$:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
Отсюда $BD = \sqrt{2}$.

Поскольку все три стороны треугольника $BDC_1$ равны ($DC_1 = BC_1 = BD = \sqrt{2}$), этот треугольник является равносторонним.

Расстояние от точки $B$ до прямой $DC_1$ — это высота $h$ равностороннего треугольника $BDC_1$. Высоту равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае сторона $a = \sqrt{2}$. Подставляем это значение в формулу:
$h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Способ 2: Координатный

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $DA$, ось $Oy$ вдоль $DC$, ось $Oz$ вдоль $DD_1$.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты:
$D(0, 0, 0)$, $C(0, 1, 0)$, $B(1, 1, 0)$, $C_1(0, 1, 1)$.

Нам нужно найти расстояние от точки $B(1, 1, 0)$ до прямой $DC_1$. Прямая $DC_1$ проходит через точку $D(0, 0, 0)$ с направляющим вектором $\vec{s} = \vec{DC_1}$.
$\vec{s} = (0-0, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$.

Расстояние $d$ от точки $M_0$ до прямой, проходящей через точку $M_1$ с направляющим вектором $\vec{s}$, вычисляется по формуле: $d = \frac{|\vec{M_1M_0} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}$.

В нашем случае $M_1$ — это точка $D(0, 0, 0)$, а $M_0$ — это точка $B(1, 1, 0)$.
Вектор $\vec{M_1M_0} = \vec{DB} = (1-0, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)$.

Найдем векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{s}$:
$\vec{DB} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = \vec{i} - \vec{j} + \vec{k} = (1, -1, 1)$.

Найдем модуль (длину) этого векторного произведения:
$|\vec{DB} \times \vec{s}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Найдем модуль (длину) направляющего вектора $\vec{s}$:
$|\vec{s}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$.

Теперь вычислим искомое расстояние $d$:
$d = \frac{|\vec{DB} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.