Номер 10, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$.

По условию, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1. Это означает, что ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками со стороной 1, а боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ перпендикулярны основаниям и также равны 1.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$. Искомое расстояние — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $AB_1$. Этот перпендикуляр лежит в плоскости треугольника $ABB_1$.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$.
- Сторона $AB$ является ребром основания, поэтому $AB = 1$.
- Сторона $BB_1$ является боковым ребром, поэтому $BB_1 = 1$.
- Так как призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и ребру $AB$. Таким образом, угол $\angle ABB_1 = 90^\circ$.

Отсюда следует, что треугольник $ABB_1$ является прямоугольным и равнобедренным. Катеты этого треугольника — $AB$ и $BB_1$, а гипотенуза — $AB_1$.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AB_1$:
$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$AB_1 = \sqrt{2}$

Расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$ — это высота $h$, проведенная из вершины прямого угла $B$ к гипотенузе $AB_1$. Площадь прямоугольного треугольника $ABB_1$ можно вычислить двумя способами.
1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
2. Через гипотенузу и высоту к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h$.

Приравняв два выражения для площади, получим уравнение:
$\frac{1}{2} \sqrt{2} h = \frac{1}{2}$

Решим уравнение относительно $h$:
$\sqrt{2} h = 1$
$h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$