Номер 13, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Расстояние от точки до прямой. Обобщающее повторение - номер 13, страница 124.

Условия.

13. В тетраэдре $ABCD$, все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CD$.

14. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой

Решение.

Решение 2.

13. По условию, дан тетраэдр $ABCD$, все ребра которого равны 1. Это означает, что тетраэдр является правильным, а все его грани — равносторонние треугольники со стороной 1.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до прямой $CD$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, проведенного из точки $B$ на прямую $CD$.

Рассмотрим грань $BCD$. Эта грань представляет собой равносторонний треугольник со сторонами $BC = CD = BD = 1$.

Искомое расстояние от вершины $B$ до прямой $CD$ является высотой треугольника $BCD$, проведенной из вершины $B$ к основанию $CD$. Обозначим эту высоту $BH$, где точка $H$ лежит на прямой $CD$.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к стороне, является также медианой. Следовательно, точка $H$ является серединой отрезка $CD$.

Таким образом, длина отрезка $CH$ равна половине длины стороны $CD$:

$CH = \frac{1}{2} \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (с прямым углом при вершине $H$). Его гипотенуза $BC = 1$, а катет $CH = \frac{1}{2}$. Найдем длину второго катета $BH$ по теореме Пифагора:

$BC^2 = BH^2 + CH^2$

$1^2 = BH^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$1 = BH^2 + \frac{1}{4}$

$BH^2 = 1 - \frac{1}{4}$

$BH^2 = \frac{3}{4}$

$BH = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $CD$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$