Номер 2, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$.

Рассмотрим грань куба $ABB₁A₁$. Так как $ABCDA₁B₁C₁D₁$ — единичный куб, то все его ребра равны 1, а грани являются квадратами.

Точки $A$, $B$ и $B₁$ лежат в плоскости грани $ABB₁A₁$ и образуют треугольник $\triangle ABB₁$.

В этом треугольнике сторона $AB$ является ребром куба, поэтому $AB = 1$. Сторона $BB₁$ также является ребром куба, $BB₁ = 1$. Угол $\angle ABB₁$ является прямым, так как грань $ABB₁A₁$ — это квадрат. Таким образом, $\triangle ABB₁$ — прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами $AB=1$ и $BB₁=1$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $AB₁$ по определению является длиной перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $AB₁$. Обозначим этот перпендикуляр как $BH$, где $H$ — точка на прямой $AB₁$. Длина отрезка $BH$ является высотой треугольника $\triangle ABB₁$, проведенной из вершины прямого угла $B$ к гипотенузе $AB₁$.

Сначала найдем длину гипотенузы $AB₁$ по теореме Пифагора для треугольника $\triangle ABB₁$:

$AB₁^2 = AB^2 + BB₁^2$

$AB₁^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$AB₁ = \sqrt{2}$

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить как половину произведения его катетов:

$S_{\triangle ABB₁} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB₁ = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

С другой стороны, площадь любого треугольника можно найти как половину произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Используем в качестве основания гипотенузу $AB₁$ и высоту $BH$:

$S_{\triangle ABB₁} = \frac{1}{2} \cdot AB₁ \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot BH$

Приравняв два выражения для площади, мы можем найти искомую высоту $BH$:

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot BH = \frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\sqrt{2} \cdot BH = 1$

Отсюда находим $BH$:

$BH = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$BH = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $AB₁$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$