Номер 17, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями $BCE_1$ и $BCC_1$.

Угол между двумя плоскостями – это угол между перпендикулярами, проведенными в каждой плоскости к их линии пересечения из одной точки.Плоскости $(BCE_1)$ и $(BCC_1)$ пересекаются по прямой $BC$. Следовательно, для нахождения угла между плоскостями необходимо построить линейный угол соответствующего двугранного угла.

В правильной шестиугольной призме боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Значит, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Так как прямая $BC$ лежит в плоскости основания, то $CC_1 \perp BC$. Прямая $CC_1$ лежит в плоскости $(BCC_1)$.

Теперь найдем прямую в плоскости $(BCE_1)$, перпендикулярную $BC$. Для этого рассмотрим основание призмы – правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, т.е. $\angle BCD = 120^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle BCE$. По условию, все ребра призмы равны $1$, значит $BC=1$. Длина большей диагонали правильного шестиугольника в два раза больше его стороны, поэтому $BE = 2$. Длину меньшей диагонали $CE$ найдем по теореме косинусов из треугольника $\triangle CDE$:$CE^2 = CD^2 + DE^2 - 2 \cdot CD \cdot DE \cdot \cos(\angle CDE) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3$.Отсюда $CE = \sqrt{3}$.Проверим, выполняется ли для треугольника $\triangle BCE$ теорема Пифагора:$BC^2 + CE^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.$BE^2 = 2^2 = 4$.Так как $BC^2 + CE^2 = BE^2$, то треугольник $\triangle BCE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, то есть $\angle BCE = 90^\circ$. Это означает, что $CE \perp BC$.

Теперь применим теорему о трех перпендикулярах. Прямая $E_1E$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$, поэтому $E_1E$ является перпендикуляром, а $CE_1$ – наклонной к плоскости $(ABC)$. Прямая $CE$ является проекцией наклонной $CE_1$ на плоскость $(ABC)$. Поскольку проекция $CE$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости, то и сама наклонная $CE_1$ перпендикулярна этой прямой $BC$.

Таким образом, мы нашли две прямые, $CC_1$ и $CE_1$, которые перпендикулярны общей прямой $BC$ и проходят через одну точку $C$. Угол между плоскостями $(BCC_1)$ и $(BCE_1)$ равен углу между этими прямыми, то есть $\angle E_1CC_1$.

Найдем этот угол, рассмотрев треугольник $\triangle E_1CC_1$. Найдем длины его сторон:1. $CC_1 = 1$ (длина бокового ребра).2. $C_1E_1$ - это диагональ в верхнем основании, соответствующая диагонали $CE$ в нижнем. Следовательно, $C_1E_1 = CE = \sqrt{3}$.3. Длину $CE_1$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle ECE_1$ (он прямоугольный, так как $E_1E \perp CE$). По теореме Пифагора:$CE_1^2 = CE^2 + EE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.Значит, $CE_1 = 2$.

В треугольнике $\triangle E_1CC_1$ известны все три стороны: $CC_1 = 1$, $C_1E_1 = \sqrt{3}$, $CE_1 = 2$. Заметим, что $CC_1^2 + C_1E_1^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$ и $CE_1^2 = 2^2 = 4$. Так как сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей, треугольник $\triangle E_1CC_1$ является прямоугольным с гипотенузой $CE_1$ и прямым углом $\angle CC_1E_1 = 90^\circ$.Искомый угол $\alpha = \angle E_1CC_1$. В прямоугольном треугольнике $\triangle E_1CC_1$ косинус этого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:$\cos(\alpha) = \frac{CC_1}{CE_1} = \frac{1}{2}$.Отсюда $\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.