Номер 16, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями $ABC$ и $BCE_1$.

Искомый угол — это двугранный угол между плоскостью основания $ABCDEF$ и плоскостью сечения $BCE_1$. Величиной двугранного угла является его линейный угол, который образован двумя лучами, проведенными в каждой из плоскостей перпендикулярно их линии пересечения из одной точки на ней.

Линией пересечения плоскостей $ABC$ и $BCE_1$ является прямая $BC$.

Построим перпендикуляр к прямой $BC$ в плоскости основания $ABC$. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Рассмотрим треугольник $BCE$, который целиком лежит в плоскости основания. Длины его сторон:

• $BC = 1$ (по условию).
• $BE$ — большая диагональ правильного шестиугольника со стороной 1, ее длина равна $2$.
• $CE$ — малая диагональ. Ее можно найти по теореме косинусов из треугольника $CDE$, где $CD=DE=1$, а угол $\angle CDE = 120^\circ$:$CE^2 = CD^2 + DE^2 - 2 \cdot CD \cdot DE \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.Отсюда $CE = \sqrt{3}$.

Теперь построим перпендикуляр к прямой $BC$ в плоскости $BCE_1$. Так как призма правильная, боковое ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Прямая $CE$ является проекцией наклонной $CE_1$ на плоскость основания. Поскольку проекция ($CE$) перпендикулярна прямой ($BC$), лежащей в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах сама наклонная ($CE_1$) также перпендикулярна этой прямой ($BC$).

Итак, мы имеем два перпендикуляра к линии пересечения $BC$, проведенные из точки $C$: $CE$ в плоскости $ABC$ и $CE_1$ в плоскости $BCE_1$. Угол между этими прямыми, $\angle ECE_1$, и есть искомый линейный угол двугранного угла.

Найдем величину угла $\angle ECE_1$. Рассмотрим треугольник $ECE_1$. Он прямоугольный, так как ребро $EE_1$ перпендикулярно основанию и, следовательно, любой прямой, лежащей в основании, в том числе и $CE$. Угол $\angle CEE_1 = 90^\circ$.Катеты этого треугольника равны:$CE = \sqrt{3}$ (как было найдено ранее).$EE_1 = 1$ (по условию, все ребра призмы равны 1).Найдем тангенс искомого угла $\alpha = \angle ECE_1$:$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{EE_1}{CE} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.