Номер 1, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой AC.

1. Чтобы найти расстояние от точки B до прямой AC в единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, мы можем рассмотреть плоскость, в которой лежат эти точка и прямая. Точки A, B и C лежат в плоскости нижнего основания куба, которое представляет собой квадрат ABCD.

Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1. Таким образом, в квадрате ABCD длины сторон $AB = 1$ и $BC = 1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как ABCD — квадрат, угол $\angle ABC$ является прямым, то есть $\angle ABC = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABC$ — это прямоугольный треугольник с катетами AB и BC.

Расстояние от точки B до прямой AC по определению является длиной перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую AC. Обозначим основание этого перпендикуляра как H. Таким образом, нам нужно найти длину высоты BH в треугольнике $\triangle ABC$.

Мы можем найти длину BH, вычислив площадь треугольника $\triangle ABC$ двумя способами.

Способ 1: Через катеты.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Способ 2: Через основание (гипотенузу) и высоту.

Площадь треугольника также равна половине произведения его основания на высоту. В нашем случае, основание — это гипотенуза AC, а высота — BH.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$

Сначала найдем длину гипотенузы AC с помощью теоремы Пифагора в треугольнике $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$AC = \sqrt{2}$

Теперь приравняем два выражения для площади, чтобы найти BH:

$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2}$

$\sqrt{2} \cdot BH = 1$

$BH = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$BH = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, расстояние от точки B до прямой AC равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$