Номер 12, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Угол между двумя плоскостями. Обобщающее повторение - номер 12, страница 123.

Условия.

12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ найдите угол между плоскостями $AFF_1$ и $BDD_1$.

Решение.

Решение 2.

Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильные шестиугольники, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Плоскость $(AFF_1)$ содержит боковое ребро $AA_1$, которое перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, плоскость $(AFF_1)$ перпендикулярна плоскости основания. Аналогично, плоскость $(BDD_1)$ содержит боковое ребро $DD_1$, которое также перпендикулярно плоскости основания. Значит, плоскость $(BDD_1)$ перпендикулярна плоскости основания.

Угол между двумя плоскостями, перпендикулярными к третьей плоскости, равен углу между их линиями пересечения с этой третьей плоскостью. Линией пересечения плоскости $(AFF_1)$ с плоскостью основания $(ABCDEF)$ является прямая $AF$. Линией пересечения плоскости $(BDD_1)$ с плоскостью основания $(ABCDEF)$ является прямая $BD$. Таким образом, искомый угол равен углу между прямыми $AF$ и $BD$ в плоскости правильного шестиугольника $ABCDEF$.

Для нахождения угла между прямыми $AF$ и $BD$, докажем, что прямая $AF$ параллельна прямой $CD$. Для этого воспользуемся векторным методом. Пусть $O$ — центр правильного шестиугольника $ABCDEF$. Выберем в качестве базисных векторов $\vec{a} = \vec{OA}$ и $\vec{b} = \vec{OB}$. Тогда, исходя из свойств правильного шестиугольника, можно выразить векторы, проведенные из центра к другим вершинам: $\vec{OC} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$, $\vec{OD} = -\vec{OA} = -\vec{a}$, $\vec{OE} = -\vec{OB} = -\vec{b}$, $\vec{OF} = \vec{OA} - \vec{OB} = \vec{a} - \vec{b}$.

Теперь выразим векторы $\vec{AF}$ и $\vec{CD}$ через базисные:

$\vec{AF} = \vec{OF} - \vec{OA} = (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{a} = -\vec{b}$.

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = (-\vec{a}) - (\vec{b} - \vec{a}) = -\vec{a} - \vec{b} + \vec{a} = -\vec{b}$.

Поскольку $\vec{AF} = \vec{CD}$, эти векторы равны, а значит, прямые $AF$ и $CD$ параллельны.

Так как $AF \parallel CD$, то угол между прямыми $AF$ и $BD$ равен углу между прямыми $CD$ и $BD$. Этот угол — $\angle CDB$ в треугольнике $BCD$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. В правильном шестиугольнике все стороны равны, поэтому $BC = CD$. Все внутренние углы правильного шестиугольника равны $120^\circ$, следовательно, $\angle BCD = 120^\circ$. Треугольник $BCD$ является равнобедренным с основанием $BD$. Углы при основании равны:

$\angle CDB = \angle CBD = \frac{180^\circ - \angle BCD}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Таким образом, угол между прямыми $AF$ и $BD$ равен $30^\circ$, что и является искомым углом между плоскостями $(AFF_1)$ и $(BDD_1)$.

Ответ: $30^\circ$