Номер 7, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Угол между двумя плоскостями. Обобщающее повторение - номер 7, страница 123.

Условия.

7. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ найдите угол между плоскостями $AFF_1$ и $ACC_1$.

8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ найдите

Решение.

Решение 2.

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения в одной точке, причем эти перпендикуляры лежат в данных плоскостях.

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскости $(AFF_1)$ и $(ACC_1)$ пересекаются по прямой $AA_1$.

Поскольку призма правильная, она является прямой призмой. Это означает, что ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCDEF)$.

Прямая $AF$ лежит в плоскости основания $(ABCDEF)$ и проходит через точку $A$. Следовательно, $AF \perp AA_1$. Прямая $AF$ также принадлежит плоскости $(AFF_1)$.

Аналогично, прямая $AC$ лежит в плоскости основания $(ABCDEF)$ и проходит через точку $A$. Следовательно, $AC \perp AA_1$. Прямая $AC$ также принадлежит плоскости $(ACC_1)$.

Таким образом, угол между плоскостями $(AFF_1)$ и $(ACC_1)$ равен углу между прямыми $AF$ и $AC$, которые обе перпендикулярны линии пересечения $AA_1$. Искомый угол — это угол $\angle FAC$, расположенный в плоскости основания.

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$, который является основанием призмы. Найдем величину угла $\angle FAC$, рассмотрев треугольник $\triangle FAC$. Пусть длина стороны шестиугольника равна $a$.

1. Длина стороны $AF$ равна стороне шестиугольника: $AF = a$.

2. $AC$ является малой диагональю правильного шестиугольника. Её длину можно найти из треугольника $\triangle ABC$ по теореме косинусов. В этом треугольнике $AB = BC = a$, а внутренний угол правильного шестиугольника $\angle ABC = 120^\circ$.
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ)$
$AC^2 = a^2 + a^2 - 2a^2(-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$
Отсюда, $AC = a\sqrt{3}$.

3. $FC$ является большой диагональю правильного шестиугольника, ее длина равна удвоенной стороне шестиугольника: $FC = 2a$.

Теперь у нас есть треугольник $\triangle FAC$ со сторонами $AF = a$, $AC = a\sqrt{3}$ и $FC = 2a$. Проверим, является ли он прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора.

Найдем сумму квадратов двух меньших сторон:$AF^2 + AC^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$.

Найдем квадрат большей стороны:$FC^2 = (2a)^2 = 4a^2$.

Так как $AF^2 + AC^2 = FC^2$, треугольник $\triangle FAC$ является прямоугольным, и его прямой угол — это угол, лежащий напротив гипотенузы $FC$, то есть $\angle FAC$.

Следовательно, искомый угол $\angle FAC = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.