Номер 4, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $AD$. Найдите угол между плоскостями $ACD$ и $BCE$.

Для нахождения угла между плоскостями (ACD) и (BCE) воспользуемся определением угла между двумя плоскостями. Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к их линии пересечения в одной и той же точке.

1. Определение линии пересечения и построение.

Плоскости (ACD) и (BCE) проходят через общие точки C и E. Следовательно, их линия пересечения — прямая CE. Нам нужно найти угол между двумя прямыми, одна из которых лежит в плоскости (ACD), а другая — в плоскости (BCE), и обе перпендикулярны CE в некоторой общей точке.

2. Анализ в плоскости (ACD).

Пусть ребро правильного тетраэдра равно $a$. Грань ACD — это равносторонний треугольник со стороной $a$. Точка E — середина ребра AD, поэтому CE — медиана треугольника ACD. В равностороннем треугольнике медиана является также и высотой, поэтому $CE \perp AD$.

Рассмотрим треугольник CDE. Его стороны:

• $CD = a$ (ребро тетраэдра).
• $DE = \frac{1}{2}AD = a/2$ (так как E — середина AD).
• $CE$ — медиана и высота в равностороннем треугольнике ACD, ее длина равна $CE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Проверим, является ли треугольник CDE прямоугольным, с помощью теоремы Пифагора:

$DE^2 + CE^2 = (a/2)^2 + (a\sqrt{3}/2)^2 = a^2/4 + 3a^2/4 = a^2$.

$CD^2 = a^2$.

Так как $CD^2 = DE^2 + CE^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник CDE является прямоугольным, с прямым углом при вершине E. Это означает, что $DE \perp CE$.

Мы нашли прямую DE, которая лежит в плоскости (ACD) (поскольку точки A, E, D лежат на одной прямой) и перпендикулярна линии пересечения CE в точке E. Значит, искомый угол — это угол между прямой DE и прямой, лежащей в плоскости (BCE) и перпендикулярной CE в той же точке E.

3. Нахождение угла с помощью метода проекций.

Пусть $\phi$ — искомый угол между плоскостями (ACD) и (BCE). Опустим перпендикуляр DH из точки D на плоскость (BCE). Точка H будет основанием этого перпендикуляра. Таким образом, DH — это расстояние от точки D до плоскости (BCE).

Поскольку $DE \perp CE$ и DH — перпендикуляр к плоскости (BCE), то по теореме о трех перпендикулярах проекция наклонной DE на плоскость (BCE), то есть прямая HE, также перпендикулярна прямой CE ($HE \perp CE$).

Таким образом, угол $\phi$ между плоскостями равен линейному углу $\angle DEH$ двугранного угла, образованного плоскостями. В прямоугольном треугольнике DHE (угол $\angle DHE = 90^\circ$):

$\sin \phi = \frac{DH}{DE}$.

Нам известна длина $DE = a/2$. Остается найти длину DH.

4. Вычисление расстояния DH.

Найдем расстояние DH, используя метод объемов для тетраэдра DBCE. Его объем можно вычислить двумя способами:

$V_{DBCE} = \frac{1}{3} \cdot S_{BCE} \cdot DH$, где $S_{BCE}$ — площадь основания BCE.

$V_{DBCE} = \frac{1}{3} \cdot S_{BCD} \cdot h_{E \to BCD}$, где $S_{BCD}$ — площадь основания BCD, а $h_{E \to BCD}$ — высота, опущенная из вершины E на плоскость BCD.

Приравняв эти выражения, получим: $S_{BCE} \cdot DH = S_{BCD} \cdot h_{E \to BCD}$.

Вычислим необходимые величины:

• $S_{BCD}$ — площадь равностороннего треугольника со стороной $a$: $S_{BCD} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
• $h_{E \to BCD}$ — высота из E на плоскость BCD. Высота всего тетраэдра из вершины A на основание BCD равна $H = a\sqrt{\frac{2}{3}}$. Так как E — середина AD, ее высота до плоскости BCD равна половине высоты тетраэдра: $h_{E \to BCD} = \frac{1}{2}H = \frac{a}{2}\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a}{\sqrt{6}}$.
• $S_{BCE}$ — площадь треугольника BCE. Найдем его стороны: $BC = a$. $BE$ и $CE$ — медианы в равносторонних треугольниках ABD и ACD соответственно, поэтому $BE = CE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Треугольник BCE — равнобедренный. Найдем его площадь по формуле Герона или через высоту. Высота $h_M$ из вершины E на основание BC (пусть M — середина BC): $h_M = \sqrt{CE^2 - CM^2} = \sqrt{(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Тогда $S_{BCE} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_M = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4}$.

Теперь найдем DH:

$DH = \frac{S_{BCD} \cdot h_{E \to BCD}}{S_{BCE}} = \frac{(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}) \cdot (\frac{a}{\sqrt{6}})}{\frac{a^2\sqrt{2}}{4}} = \frac{a^3\sqrt{3}}{4\sqrt{6}} \cdot \frac{4}{a^2\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{6}\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{12}} = \frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{a}{2}$.

5. Определение угла.

Мы нашли, что $DH = a/2$. Теперь можем вычислить синус искомого угла $\phi$:

$\sin \phi = \frac{DH}{DE} = \frac{a/2}{a/2} = 1$.

Если $\sin \phi = 1$, то угол $\phi = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.