Номер 33, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны $1$, найдите угол между прямой $BF$ и плоскостью $BCE_1$.

Для нахождения угла между прямой и плоскостью воспользуемся методом координат. Угол $\alpha$ между прямой с направляющим вектором $\vec{v}$ и плоскостью с вектором нормали $\vec{n}$ определяется формулой:

$\sin\alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Введем систему координат. Поместим начало координат $O$ в центр нижнего основания призмы, шестиугольника $ABCDEF$. Направим ось $Ox$ через вершины $A$ и $D$, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей в плоскости основания. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$.

Поскольку все ребра призмы равны 1, сторона правильного шестиугольника в основании равна 1, и высота призмы также равна 1. Радиус описанной окружности для правильного шестиугольника равен его стороне, то есть $R=1$. В выбранной системе координат вершины будут иметь следующие координаты:

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$E_1 = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 1) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
$F_1 = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 1) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

1. Нахождение направляющего вектора прямой $BF_1$.

Прямая проходит через точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$. Ее направляющий вектор $\vec{v}$ равен разности координат этих точек:

$\vec{v} = \vec{BF_1} = (1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$.

2. Нахождение вектора нормали к плоскости $BCE_1$.

Плоскость проходит через точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$. Для нахождения вектора нормали $\vec{n}$ найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например $\vec{BC}$ и $\vec{BE_1}$, и вычислим их векторное произведение.

$\vec{BC} = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

$\vec{BE_1} = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 1)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ равен векторному произведению $\vec{BC} \times \vec{BE_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - 0) - \mathbf{j}(-1 - 0) + \mathbf{k}(\sqrt{3} - 0) = (0, 1, \sqrt{3})$.

3. Вычисление угла.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{v}$ и $\vec{n}$:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0, -\sqrt{3}, 1) \cdot (0, 1, \sqrt{3}) = 0 \cdot 0 + (-\sqrt{3}) \cdot 1 + 1 \cdot \sqrt{3} = -\sqrt{3} + \sqrt{3} = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, то числитель в формуле для синуса угла также равен нулю:

$\sin\alpha = \frac{0}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||} = 0$.

Отсюда следует, что искомый угол $\alpha = 0^\circ$.

Нулевой угол означает, что прямая $BF_1$ либо параллельна плоскости $BCE_1$, либо лежит в ней. Поскольку точка $B$ принадлежит как прямой $BF_1$, так и плоскости $BCE_1$, то вся прямая $BF_1$ лежит в этой плоскости.

Ответ: 0.