Номер 28, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

28. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $FB$ и плоскостью $BDD_1$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Обозначим искомый угол через $\alpha$. Пусть $H$ — ортогональная проекция точки $F$ на плоскость $BDD_1$. Тогда прямая $BH$ является проекцией прямой $FB$ на эту плоскость. Следовательно, искомый угол $\alpha$ — это угол $\angle FBH$.

Поскольку $FH$ — перпендикуляр к плоскости $BDD_1$, то отрезок $FH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $H$. В частности, $FH \perp BH$. Значит, треугольник $FHB$ — прямоугольный, и из него мы можем найти синус угла $\alpha$ по формуле: $\sin(\alpha) = \frac{FH}{FB}$. Здесь $FH$ — расстояние от точки $F$ до плоскости $BDD_1$, а $FB$ — длина отрезка $FB$.

Сначала найдем длину отрезка $FB$. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$. Отрезок $FB$ является одной из малых диагоналей этого шестиугольника. Длина малой диагонали правильного шестиугольника вычисляется по формуле $d = a\sqrt{3}$. Так как $a=1$, получаем $FB = \sqrt{3}$.

Теперь найдем расстояние $FH$ от точки $F$ до плоскости $BDD_1$. Так как призма прямая, её боковые рёбра (в том числе $DD_1$) перпендикулярны плоскости основания. Плоскость $BDD_1$ проходит через ребро $DD_1$, следовательно, плоскость $BDD_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $BD$. Расстояние от точки $F$, лежащей в плоскости основания, до плоскости $BDD_1$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $F$ на линию пересечения $BD$. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки $F$ до прямой $BD$ в плоскости шестиугольника.

Для вычисления этого расстояния введём систему координат в плоскости основания $ABCDEF$. Поместим центр шестиугольника $O$ в начало координат $(0, 0)$, а ось $Ox$ направим вдоль большой диагонали $AD$. Так как сторона шестиугольника равна 1, радиус описанной окружности также равен 1. Координаты вершин, необходимых для решения: $D(-1, 0)$, $B(1/2, \sqrt{3}/2)$ и $F(1/2, -\sqrt{3}/2)$.Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $B$ и $D$. Угловой коэффициент $k$:$k = \frac{y_B - y_D}{x_B - x_D} = \frac{\sqrt{3}/2 - 0}{1/2 - (-1)} = \frac{\sqrt{3}/2}{3/2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.Уравнение прямой $BD$ (используя точку $D(-1, 0)$):$y - 0 = \frac{\sqrt{3}}{3}(x + 1)$.Приведем уравнение к общему виду $Ax+By+C=0$:$\sqrt{3}y = x+1 \Rightarrow x - \sqrt{3}y + 1 = 0$.Теперь найдем расстояние от точки $F(1/2, -\sqrt{3}/2)$ до этой прямой по формуле расстояния от точки до прямой:$FH = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|1 \cdot (1/2) - \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}/2) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = \frac{|1/2 + 3/2 + 1|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{|2+1|}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.

Мы нашли длины катета и гипотенузы в прямоугольном треугольнике $FHB$: $FH = 3/2$ и $FB = \sqrt{3}$. Теперь можем вычислить синус искомого угла $\alpha$:$\sin(\alpha) = \frac{FH}{FB} = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Поскольку угол между прямой и плоскостью по определению является острым, получаем:$\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.