Номер 25, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $FB_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Обозначим искомый угол через $\alpha$. Для его нахождения мы воспользуемся геометрическим методом.

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ боковая грань $BCC_1B_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Чтобы найти угол между прямой $FB_1$ и плоскостью $BCC_1$, построим проекцию прямой $FB_1$ на эту плоскость. Точка $B_1$ уже принадлежит плоскости $BCC_1$. Проекцией точки $F$ на плоскость $BCC_1$ будет основание перпендикуляра $FH$, опущенного из точки $F$ на эту плоскость. Таким образом, прямая $HB_1$ является проекцией прямой $FB_1$ на плоскость $BCC_1$, а искомый угол $\alpha$ равен углу $\angle FB_1H$.

Треугольник $\triangle FHB_1$ является прямоугольным, так как $FH$ перпендикулярен плоскости $BCC_1$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, включая $HB_1$. Из этого треугольника $\sin \alpha = \frac{FH}{FB_1}$. Чтобы найти угол, нам необходимо вычислить длины гипотенузы $FB_1$ и катета $FH$.

Найдем длину гипотенузы $FB_1$. Рассмотрим треугольник $\triangle FBB_1$. Так как призма прямая, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию $ABCDEF$. Следовательно, $BB_1 \perp FB$, и треугольник $\triangle FBB_1$ является прямоугольным с прямым углом в вершине $B$. По теореме Пифагора $FB_1^2 = FB^2 + BB_1^2$. По условию, все ребра призмы равны 1, значит $BB_1 = 1$. Отрезок $FB$ является малой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. Его длину можно найти по теореме косинусов из треугольника $\triangle FAB$, где $FA = AB = 1$ и $\angle FAB = 120^\circ$.$FB^2 = FA^2 + AB^2 - 2 \cdot FA \cdot AB \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3$.Таким образом, $FB = \sqrt{3}$.Теперь можем найти $FB_1$: $FB_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$, откуда $FB_1 = 2$.

Теперь найдем длину катета $FH$. $FH$ — это расстояние от точки $F$ до плоскости $BCC_1$. Поскольку плоскость грани $BCC_1B_1$ перпендикулярна основанию, это расстояние равно расстоянию от точки $F$ до прямой $BC$ в плоскости основания. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ сторона $FE$ параллельна стороне $BC$. Расстояние между этими параллельными сторонами для шестиугольника со стороной $s$ равно $s\sqrt{3}$. Так как $s=1$, расстояние между $FE$ и $BC$ равно $\sqrt{3}$. Следовательно, $FH = \sqrt{3}$.

Мы нашли все необходимые элементы для вычисления угла. В прямоугольном треугольнике $\triangle FHB_1$ с гипотенузой $FB_1=2$ и катетом $FH=\sqrt{3}$ синус угла $\alpha = \angle FB_1H$ равен:$\sin \alpha = \frac{FH}{FB_1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Угол между прямой и плоскостью по определению является острым, поэтому $\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.