Номер 20, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Обозначим искомый угол через $\alpha$.

Для нахождения угла между прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$, мы найдем проекцию прямой $AB$ на эту плоскость. Точка $B$ принадлежит плоскости $BCC_1$, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой $B$. Найдем проекцию точки $A$ на плоскость $BCC_1$. Для этого опустим перпендикуляр из точки $A$ на плоскость $BCC_1$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Тогда отрезок $BH$ является проекцией отрезка $AB$ на плоскость $BCC_1$.

Искомый угол $\alpha$ — это угол $\angle ABH$. Так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости $BCC_1$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $BH$. Следовательно, треугольник $\triangle ABH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$ мы можем найти угол $\alpha$ через тригонометрические функции, например, через синус: $\sin(\alpha) = \frac{AH}{AB}$. По условию задачи, все ребра призмы равны 1, значит, длина гипотенузы $AB = 1$. Остается найти длину катета $AH$, который представляет собой расстояние от точки $A$ до плоскости $BCC_1$.

Так как призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ правильная, то она является прямой призмой, и её боковые ребра (например, $BB_1$) перпендикулярны плоскости основания. Плоскость боковой грани $BCC_1$ содержит ребро $BC$ основания и перпендикулярное ему направление (задаваемое ребром $BB_1$). Расстояние от точки $A$ до плоскости $BCC_1$ равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BC$ в плоскости основания $ABCDEF$.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1. Все внутренние углы правильного шестиугольника равны $120^\circ$. Таким образом, в треугольнике $\triangle ABC$ имеем $AB = BC = 1$ и $\angle ABC = 120^\circ$.

Найдем расстояние от точки $A$ до прямой $BC$. Опустим перпендикуляр из точки $A$ на прямую $BC$. Так как угол $\angle ABC = 120^\circ$ является тупым, основание перпендикуляра $H$ будет лежать на продолжении отрезка $BC$ за точку $B$. Рассмотрим треугольник, образованный точками $A, B$ и $H$. Угол $\angle ABH$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle ABH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$ (лежащем в плоскости основания) гипотенуза $AB=1$, а угол $\angle ABH = 60^\circ$. Длина катета $AH$ равна:$AH = AB \cdot \sin(\angle ABH) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Это и есть расстояние от точки $A$ до плоскости $BCC_1$.

Теперь вернемся к пространственному прямоугольному треугольнику $\triangle ABH$. Мы знаем длину гипотенузы $AB = 1$ и длину катета $AH = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем синус искомого угла $\alpha = \angle ABH$:$\sin(\alpha) = \frac{AH}{AB} = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Отсюда находим значение угла $\alpha$:$\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.