Номер 19, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $ABC$.

По условию, дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1. Требуется найти угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $ABC$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Найдем проекцию прямой $BD_1$ на плоскость основания $ABC$. Точка $B$ уже лежит в этой плоскости. Так как призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, ребро $D_1D$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Это означает, что точка $D$ является ортогональной проекцией точки $D_1$ на плоскость $ABC$.

Таким образом, проекцией наклонной $BD_1$ на плоскость $ABC$ является отрезок $BD$. Искомый угол — это угол $\angle D_1BD$ в прямоугольном треугольнике $\triangle D_1BD$ (угол $\angle D_1DB = 90^\circ$, так как $D_1D \perp ABC$ и, следовательно, $D_1D \perp BD$).

Для нахождения угла $\angle D_1BD$ нам нужно найти длины катетов треугольника $\triangle D_1BD$.

Катет $D_1D$ является боковым ребром призмы. По условию, все ребра равны 1, значит, $D_1D = 1$.

Катет $BD$ является меньшей диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$, лежащего в основании. Найдем ее длину. Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$ в основании. Стороны $BC$ и $CD$ равны 1. Угол правильного шестиугольника равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$, то есть $\angle BCD = 120^\circ$.

По теореме косинусов для треугольника $\triangle BCD$: $BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$ $BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$ Отсюда $BD = \sqrt{3}$.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle D_1BD$. Мы знаем длины двух катетов: $D_1D = 1$ (противолежащий катет для искомого угла) и $BD = \sqrt{3}$ (прилежащий катет). Найдем тангенс угла $\angle D_1BD$: $\tan(\angle D_1BD) = \frac{D_1D}{BD} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$.

Следовательно, угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $ABC$ равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.