Номер 12, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Угол между прямой и плоскостью. Обобщающее повторение - номер 12, страница 121.

Условия.

12. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $ACB_1$.

13. В тетраэдре $ABCD$, все ребра которого равны $1$, точка $E$ — середина

Решение.

Решение 2.

Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Направим оси координат вдоль ребер: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$ и ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Для простоты вычислений примем длину ребра куба равной 1.

В этой системе координат вершины, определяющие прямую и плоскость, будут иметь следующие координаты:$A(0, 0, 0)$,$C(1, 1, 0)$,$B(1, 0, 0)$,$B_1(1, 0, 1)$,$D_1(0, 1, 1)$.

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью определяется по формуле:$\sin\phi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$,где $\vec{s}$ — направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ — вектор нормали к плоскости.

Сначала найдем направляющий вектор $\vec{s}$ для прямой $BD_1$. Его координаты вычисляются как разность координат конца и начала вектора:$\vec{s} = \vec{BD_1} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$.

Далее найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ACB_1$. Для этого найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости. Возьмем векторы с началом в точке $A$: $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$.$\vec{AC} = (1-0, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)$.$\vec{AB_1} = (1-0, 0-0, 1-0) = (1, 0, 1)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен к плоскости, а значит, перпендикулярен обоим векторам $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$. Его можно найти как их векторное произведение:$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (1, -1, -1)$.

Теперь, когда у нас есть направляющий вектор прямой $\vec{s} = (-1, 1, 1)$ и вектор нормали плоскости $\vec{n} = (1, -1, -1)$, мы можем вычислить угол.Найдем скалярное произведение векторов:$\vec{s} \cdot \vec{n} = (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = -1 - 1 - 1 = -3$.

Найдем модули (длины) векторов:$|\vec{s}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Подставим полученные значения в формулу для синуса угла:$\sin\phi = \frac{|-3|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{3} = 1$.

Если синус угла равен 1, то сам угол равен $90^\circ$. Это означает, что прямая $BD_1$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$.

Ответ: $90^\circ$.