Номер 6, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $BC_1$ и плоскостью $BCD_1$.

6. Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D, направив оси координат вдоль ребер: ось Ox вдоль DA, ось Oy вдоль DC, ось Oz вдоль $DD_1$. Примем длину ребра куба равной 1.

В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты:

B(1, 1, 0)
C(0, 1, 0)
$C_1(0, 1, 1)$
$D_1(0, 0, 1)$

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью можно найти, используя формулу, связывающую его с углом $\beta$ между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости:

$\sin(\alpha) = |\cos(\beta)| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$

где $\vec{u}$ — направляющий вектор прямой $BC_1$, а $\vec{n}$ — вектор нормали к плоскости $BCD_1$.

Найдем направляющий вектор $\vec{u}$ прямой $BC_1$ как разность координат ее конца и начала:

$\vec{u} = \vec{BC_1} = (0 - 1, 1 - 1, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$.

Для нахождения вектора нормали $\vec{n}$ к плоскости $BCD_1$ найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например $\vec{CB}$ и $\vec{CD_1}$:

$\vec{CB} = (1 - 0, 1 - 1, 0 - 0) = (1, 0, 0)$.

$\vec{CD_1} = (0 - 0, 0 - 1, 1 - 0) = (0, -1, 1)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ найдем как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{CB} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) = (0, -1, -1)$.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{n}$:

$\vec{u} \cdot \vec{n} = (-1) \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = -1$.

Найдем длины (модули) векторов $\vec{u}$ и $\vec{n}$:

$|\vec{u}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

$|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

Подставим найденные значения в формулу для синуса угла:

$\sin(\alpha) = \frac{|-1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Искомый угол $\alpha$ равен арксинусу этого значения:

$\alpha = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.