Номер 9, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BDD_1$.

9. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Для решения задачи найдем угол между прямой $AB_1$ и её проекцией на плоскость $BDD_1$.

Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеет длину $a$.

Плоскость $BDD_1$ является диагональным сечением куба. Эта плоскость также содержит вершину $B_1$, так как четырехугольник $BDD_1B_1$ является прямоугольником (поскольку $BB_1 \parallel DD_1$ и $BB_1 = DD_1$, а $BD \perp BB_1$).

Прямая $AB_1$ пересекает плоскость $BDD_1$ в точке $B_1$. Чтобы найти проекцию прямой $AB_1$ на эту плоскость, нам нужно найти проекцию какой-либо другой точки этой прямой, например, точки $A$, на плоскость $BDD_1$. Для этого опустим перпендикуляр из точки $A$ на плоскость $BDD_1$.

Рассмотрим основание куба — квадрат $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а следовательно, оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $DD_1 \perp AC$.

Таким образом, прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $DD_1$) в плоскости $BDD_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $BDD_1$.

Это означает, что перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на плоскость $BDD_1$, является отрезок $AO$. Точка $O$ — это проекция точки $A$ на плоскость $BDD_1$.

Следовательно, проекцией наклонной $AB_1$ на плоскость $BDD_1$ является отрезок $OB_1$. Искомый угол $\alpha$ — это угол между наклонной $AB_1$ и её проекцией $OB_1$, то есть $\alpha = \angle AB_1O$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB_1$. Так как $AO$ является перпендикуляром к плоскости $BDD_1$, а прямая $OB_1$ лежит в этой плоскости, то $AO \perp OB_1$. Значит, треугольник $\triangle AOB_1$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $O$.

Для нахождения угла $\alpha$ найдем длины катета $AO$ и гипотенузы $AB_1$.

1. Гипотенуза $AB_1$ является диагональю грани куба $ABB_1A_1$. По теореме Пифагора для $\triangle ABB_1$:

$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

2. Катет $AO$ — это половина диагонали $AC$ квадрата $ABCD$. Длина диагонали $AC$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно:

$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle AOB_1$ можем найти синус искомого угла $\alpha = \angle AB_1O$:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AO}{AB_1} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$. Таким образом, искомый угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BDD_1$ равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.