Номер 2, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $BD$ и плоскостью $BCD_1$.

3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $DA_1$ и плоскостью

2. Для решения задачи воспользуемся координатным методом.
Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Введем правую прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$. Ось $Ox$ направим по $AB$, ось $Oy$ по $AD$, ось $Oz$ по $AA_1$.
В этой системе координат вершины, необходимые для решения, будут иметь следующие координаты: $B(a, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $D(0, a, 0)$ и $D_1(0, a, a)$.

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Его синус можно найти по формуле, использующей направляющий вектор прямой $\vec{s}$ и вектор нормали к плоскости $\vec{n}$:
$\sin \alpha = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$.

1. Найдем направляющий вектор $\vec{s}$ для прямой $BD$:
$\vec{s} = \vec{BD} = \{D_x - B_x; D_y - B_y; D_z - B_z\} = \{0 - a; a - 0; 0 - 0\} = \{-a; a; 0\}$.

2. Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $BCD_1$. Для этого найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{BC}$ и $\vec{BD_1}$, и вычислим их векторное произведение.
$\vec{BC} = \{C_x - B_x; C_y - B_y; C_z - B_z\} = \{a - a; a - 0; 0 - 0\} = \{0; a; 0\}$.
$\vec{BD_1} = \{D_{1x} - B_x; D_{1y} - B_y; D_{1z} - B_z\} = \{0 - a; a - 0; a - 0\} = \{-a; a; a\}$.
Вектор нормали $\vec{n}$ равен их векторному произведению:
$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ -a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot a - a \cdot (-a)) = a^2\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + a^2\mathbf{k} = \{a^2; 0; a^2\}$.
В качестве вектора нормали можно взять коллинеарный ему вектор, разделив координаты на $a^2$: $\vec{n} = \{1; 0; 1\}$.

3. Вычислим искомый угол $\alpha$.
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$:
$\vec{s} \cdot \vec{n} = (-a) \cdot 1 + a \cdot 0 + 0 \cdot 1 = -a$.
Найдем модули векторов:
$|\vec{s}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Подставим найденные значения в формулу для синуса угла:
$\sin \alpha = \frac{|-a|}{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, искомый угол $\alpha = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.