Номер 48, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

48. Найдите угол между скрещивающимися ребрами октаэдра.

Для нахождения угла между скрещивающимися ребрами правильного октаэдра можно использовать как геометрический метод, так и метод координат.

1. Геометрический метод (с помощью параллельного переноса)

Угол между двумя скрещивающимися прямыми определяется как угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны исходным скрещивающимся прямым.

Рассмотрим правильный октаэдр. Правильный октаэдр — это многогранник, состоящий из восьми граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. Все 12 ребер октаэдра имеют одинаковую длину.

Пусть нам даны два скрещивающихся ребра, назовем их $e_1$ и $e_2$. Поскольку все ребра в правильном октаэдре конгруэнтны (равны), мы можем выбрать любую удобную пару скрещивающихся ребер для анализа.

Октаэдр можно представить как две правильные четырехугольные пирамиды, соединенные своими основаниями. Пусть вершины этого основания образуют квадрат $ABCD$, а вершины пирамид — точки $P$ и $Q$.

Рисунок 1: Правильный октаэдр с вершинами P, Q, A, B, C, D

Выберем ребро $e_1 = PA$. Ребро $PA$ является стороной грани $PAD$.

Теперь выберем ребро $e_2$, скрещивающееся с $PA$. Такое ребро не должно иметь общих вершин с $PA$ и не должно быть ему параллельно. Возьмем, к примеру, ребро $e_2 = BC$. Оно не пересекается с $PA$ и не параллельно ему.

Чтобы найти угол между $PA$ и $BC$, мы выполним параллельный перенос одного из ребер. В квадрате $ABCD$, лежащем в основании, сторона $BC$ параллельна стороне $AD$.

Следовательно, угол между скрещивающимися ребрами $PA$ и $BC$ равен углу между пересекающимися ребрами $PA$ и $AD$.

Ребра $PA$ и $AD$ являются двумя сторонами грани $PAD$. Так как все грани правильного октаэдра являются равносторонними треугольниками, то треугольник $PAD$ — равносторонний. Угол между любыми двумя сторонами в равностороннем треугольнике равен $60^\circ$.

Таким образом, угол $\angle PAD = 60^\circ$.

Этот результат не зависит от выбора пары скрещивающихся ребер из-за высокой симметрии правильного октаэдра. Для любой пары скрещивающихся ребер $e_1$ и $e_2$ можно найти ребро $e_2'$, параллельное $e_2$ и пересекающее $e_1$ в одной из вершин, причем $e_1$ и $e_2'$ всегда будут являться смежными ребрами одной из граней октаэдра.

2. Метод координат (для проверки)

Разместим вершины правильного октаэдра в декартовой системе координат. Пусть ребро октаэдра имеет длину $L$. Удобно выбрать вершины в точках, лежащих на осях координат:$P(0, 0, a)$, $Q(0, 0, -a)$, $A(a, 0, 0)$, $C(-a, 0, 0)$, $B(0, a, 0)$, $D(0, -a, 0)$.При таком расположении длина ребра $L = \sqrt{(a-0)^2 + (0-a)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Рассмотрим те же скрещивающиеся ребра $PA$ и $BC$.

Найдем векторы, соответствующие этим ребрам:$\vec{PA} = A - P = (a, 0, 0) - (0, 0, a) = (a, 0, -a)$$\vec{BC} = C - B = (-a, 0, 0) - (0, a, 0) = (-a, -a, 0)$

Длины векторов (модули):$|\vec{PA}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$|\vec{BC}| = \sqrt{(-a)^2 + (-a)^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$Оба модуля равны длине ребра $L$, что верно.

Теперь найдем косинус угла $\alpha$ между этими векторами по формуле:$\cos \alpha = \frac{|\vec{PA} \cdot \vec{BC}|}{|\vec{PA}| \cdot |\vec{BC}|}$(Мы берем модуль скалярного произведения, так как ищем острый угол между прямыми).

Скалярное произведение:$\vec{PA} \cdot \vec{BC} = (a)(-a) + (0)(-a) + (-a)(0) = -a^2$

Теперь вычислим косинус угла:$\cos \alpha = \frac{|-a^2|}{(a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2})} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$

Угол $\alpha$, косинус которого равен $1/2$, составляет:$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: Угол между скрещивающимися ребрами правильного октаэдра равен $60^\circ$.