Номер 7, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $ABC_1$.

8. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $BC_1D$.

7. Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат находится в вершине A, ось Ox направлена вдоль ребра AB, ось Oy — вдоль ребра AD, а ось Oz — вдоль ребра AA₁. Примем длину ребра куба равной 1, так как величина угла не зависит от размера куба.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1).Исходя из этого, найдем координаты нужных нам точек B₁ и C₁:B₁ имеет координаты (1; 0; 1).C имеет координаты (1; 1; 0), следовательно C₁ имеет координаты (1; 1; 1).

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Мы найдем его, используя векторы. Искомый угол $\alpha$ можно найти по формуле, связывающей его с углом $\beta$ между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости: $\sin(\alpha) = |\cos(\beta)|$.

1. Найдем направляющий вектор $\vec{v}$ для прямой AB₁.Прямая проходит через точки A(0; 0; 0) и B₁(1; 0; 1).$\vec{v} = \vec{AB_1} = (1-0; 0-0; 1-0) = (1; 0; 1)$.Длина этого вектора: $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

2. Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости ABC₁.Плоскость проходит через точки A(0; 0; 0), B(1; 0; 0) и C₁(1; 1; 1).Вектор нормали перпендикулярен двум любым неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости. Возьмем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$.$\vec{AB} = (1-0; 0-0; 0-0) = (1; 0; 0)$.$\vec{AC_1} = (1-0; 1-0; 1-0) = (1; 1; 1)$.Вектор нормали $\vec{n}$ найдем как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC_1}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = 0\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (0; -1; 1)$.Длина вектора нормали: $|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

3. Найдем синус угла $\alpha$ между прямой AB₁ и плоскостью ABC₁.$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$.Скалярное произведение векторов:$\vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.Теперь подставим все значения в формулу:$\sin(\alpha) = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Угол $\alpha$, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет 30°.$\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.