Номер 14, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В тетраэдре $ABCD$, все ребра которого равны $1$, точка $E$ — середина ребра $AD$. Найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCE$.

Пусть дан правильный тетраэдр $ABCD$, все ребра которого равны 1. Точка $E$ — середина ребра $AD$. Необходимо найти угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCE$.

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Этот угол можно найти с помощью формулы, связывающей его с углом между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости:$ \sin \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} $, где $\vec{u}$ — направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ — вектор нормали к плоскости.

В качестве направляющего вектора прямой $AB$ возьмем вектор $\vec{AB}$. Так как длина ребра тетраэдра равна 1, то $|\vec{AB}| = 1$.

Теперь найдем вектор нормали к плоскости $BCE$. Для этого докажем, что ребро $AD$ перпендикулярно плоскости $BCE$.

1. Рассмотрим грань $ABD$. Это равносторонний треугольник со стороной 1. $E$ — середина стороны $AD$. Следовательно, отрезок $BE$ является медианой в треугольнике $ABD$. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также и высотой. Значит, $BE \perp AD$.

2. Рассмотрим грань $ACD$. Это также равносторонний треугольник со стороной 1. $E$ — середина стороны $AD$. Следовательно, отрезок $CE$ является медианой в треугольнике $ACD$ и, по тому же свойству, высотой. Значит, $CE \perp AD$.

3. Прямые $BE$ и $CE$ лежат в плоскости $BCE$ и пересекаются в точке $E$. Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BE$ и $CE$) в плоскости $BCE$, то прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $BCE$.

Таким образом, вектор $\vec{AD}$ является вектором нормали к плоскости $BCE$. В качестве вектора $\vec{n}$ возьмем $\vec{AD}$. Длина этого вектора $|\vec{AD}| = 1$, так как это ребро тетраэдра.

Теперь мы можем вычислить искомый угол $\alpha$ по формуле:$ \sin \alpha = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{AD}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}|} $

По определению скалярного произведения, $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle DAB)$.Подставим это в нашу формулу:$ \sin \alpha = \frac{| |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle DAB) |}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}|} = |\cos(\angle DAB)| $

Угол $\angle DAB$ — это внутренний угол равностороннего треугольника $ABD$, поэтому $\angle DAB = 60^{\circ}$.

Следовательно:$ \sin \alpha = |\cos(60^{\circ})| = \frac{1}{2} $

Поскольку угол между прямой и плоскостью является острым, то $\alpha = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$.