Номер 21, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AF$ и плоскостью $BCC_1$.

21. Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим начало координат $O$ в центр нижнего основания призмы, шестиугольника $ABCDEF$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$, а ось $Ox$ проведем через вершину $A$.

Так как призма является правильной и все ее ребра равны 1, то сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$. Основание представляет собой правильный шестиугольник, который можно вписать в окружность радиуса $R=a=1$. Найдем координаты необходимых нам вершин. Точка $A$ лежит на оси $Ox$, поэтому ее координаты $A(1, 0, 0)$. Координаты остальных вершин основания находим, зная, что угол между радиусами к соседним вершинам равен $60^\circ$. Таким образом, получаем:
$B(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$,
$C(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$,
$F(1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.
Вершины верхнего основания имеют те же координаты $x$ и $y$, что и соответствующие вершины нижнего основания, но их аппликата $z=1$. Следовательно, $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$ и $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Угол $\theta$ между прямой и плоскостью находится по формуле $\sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$, где $\vec{v}$ — направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ — вектор нормали к плоскости.

Найдем направляющий вектор $\vec{v}$ прямой $AF_1$:
$\vec{v} = \vec{AF_1} = (x_{F_1} - x_A, y_{F_1} - y_A, z_{F_1} - z_A) = (1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $BCC_1$. Эта плоскость содержит точки $B$, $C$ и $C_1$. Возьмем два вектора, лежащие в этой плоскости: $\vec{BC}$ и $\vec{CC_1}$.
$\vec{BC} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0-0) = (-1, 0, 0)$.
$\vec{CC_1} = C_1 - C = (-1/2 - (-1/2), \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1-0) = (0, 0, 1)$.
Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен этим векторам, его можно найти как их векторное произведение:
$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{CC_1} = (0, 1, 0)$.

Теперь вычислим необходимые для формулы величины:
Скалярное произведение: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (-1/2) \cdot 0 + (-\sqrt{3}/2) \cdot 1 + 1 \cdot 0 = -\sqrt{3}/2$.
Модуль вектора $\vec{v}$: $|\vec{v}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{2}$.
Модуль вектора $\vec{n}$: $|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Подставим значения в формулу для синуса угла:
$\sin\theta = \frac{|-\sqrt{3}/2|}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Таким образом, искомый угол $\theta$ равен $\arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)$.