Номер 27, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BA_1$ и плоскостью $BDD_1$.

Для нахождения угла между прямой и плоскостью найдем угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

1. Определение плоскости и проекции.
Плоскость $BDD_1$ проходит через три точки $B$, $D$, $D_1$. Так как призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ правильная, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В частности, $BB_1 \perp$ плоскости $ABC$ и $DD_1 \perp$ плоскости $ABC$. Это значит, что $BB_1 \parallel DD_1$. Плоскость, проходящая через две параллельные прямые $BB_1$ и $DD_1$, также содержит прямую $B_1D_1$, параллельную $BD$. Таким образом, плоскость $BDD_1$ является плоскостью боковой грани (прямоугольника) $BDD_1B_1$.

Искомый угол $\alpha$ — это угол между прямой $BA_1$ и ее проекцией на плоскость $BDD_1B_1$.

Точка $B$ уже лежит в плоскости $BDD_1B_1$, значит, ее проекция на эту плоскость — сама точка $B$.

Чтобы найти проекцию прямой $BA_1$, достаточно найти проекцию точки $A_1$ на плоскость $BDD_1B_1$. Для этого нужно опустить перпендикуляр из точки $A_1$ на эту плоскость.

2. Доказательство перпендикулярности $A_1B_1$ к плоскости $BDD_1B_1$.
Рассмотрим верхнее основание призмы — правильный шестиугольник $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Все внутренние углы правильного шестиугольника равны $120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $B_1C_1D_1$. Он равнобедренный, так как $B_1C_1 = C_1D_1 = 1$. Угол при вершине $\angle B_1C_1D_1 = 120^\circ$. Углы при основании $B_1D_1$ равны: $\angle C_1B_1D_1 = \angle C_1D_1B_1 = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Угол шестиугольника $\angle A_1B_1C_1 = 120^\circ$. Найдем угол $\angle A_1B_1D_1$: $\angle A_1B_1D_1 = \angle A_1B_1C_1 - \angle C_1B_1D_1 = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$. Это означает, что прямая $A_1B_1$ перпендикулярна прямой $B_1D_1$, лежащей в плоскости $BDD_1B_1$.

Поскольку призма правильная, ее боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Следовательно, $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $A_1B_1$.

Итак, прямая $A_1B_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($B_1D_1$ и $BB_1$) в плоскости $BDD_1B_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $A_1B_1$ перпендикулярна всей плоскости $BDD_1B_1$.

Это означает, что точка $B_1$ и есть проекция точки $A_1$ на плоскость $BDD_1B_1$.

3. Нахождение угла.
Проекцией прямой $BA_1$ на плоскость $BDD_1B_1$ является прямая $BB_1$. Искомый угол $\alpha$ — это угол между наклонной $BA_1$ и ее проекцией $BB_1$, то есть $\alpha = \angle A_1BB_1$.

Рассмотрим треугольник $A_1BB_1$. Он прямоугольный, так как боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию, а значит и ребру $A_1B_1$, лежащему в основании ($\angle A_1B_1B = 90^\circ$).

По условию, все ребра призмы равны 1. Значит, катеты этого треугольника равны: $A_1B_1 = 1$ (ребро основания) $BB_1 = 1$ (боковое ребро)

Треугольник $A_1BB_1$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы равны $45^\circ$. Можно также найти тангенс угла $\alpha$: $\text{tg}(\alpha) = \text{tg}(\angle A_1BB_1) = \frac{A_1B_1}{BB_1} = \frac{1}{1} = 1$.

Отсюда $\alpha = \text{arctg}(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.