Номер 32, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

32. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BB_1$ и плоскостью $BCE_1$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат: начало координат $O$ поместим в центр нижнего основания призмы $ABCDEF$, ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$, а ось $Ox$ — через вершину $A$.

Поскольку призма правильная и все ребра равны 1, сторона основания равна 1, и высота призмы равна 1. Расстояние от центра правильного шестиугольника до его вершины равно стороне, то есть 1. Координаты необходимых для решения вершин находим, используя тригонометрические функции, зная, что угол между радиус-векторами соседних вершин, проведенными из центра основания, составляет $60^\circ$:
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Координаты вершин верхнего основания получаются добавлением 1 к аппликате, поэтому $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью определяется по формуле $\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$, где $\vec{v}$ — направляющий вектор прямой $BB_1$, а $\vec{n}$ — вектор нормали к плоскости $BCE_1$.

Направляющий вектор прямой $BB_1$ параллелен оси $Oz$, так как призма прямая. Таким образом, $\vec{v} = \vec{BB_1} = (0, 0, 1)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $BCE_1$ найдем как векторное произведение двух неколлинеарных векторов, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{BC}$ и $\vec{BE_1}$.
$\vec{BC} = C - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.
$\vec{BE_1} = E_1 - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 1)$.
$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BE_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = (0)\mathbf{i} - (-1)\mathbf{j} + (\sqrt{3})\mathbf{k} = (0, 1, \sqrt{3})$.

Теперь вычислим искомый угол $\alpha$.
Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (0, 0, 1) \cdot (0, 1, \sqrt{3}) = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Найдем модули векторов: $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$ и $|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$.
Подставим найденные значения в формулу для синуса угла:
$\sin(\alpha) = \frac{|\sqrt{3}|}{1 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку по определению угол между прямой и плоскостью лежит в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$, получаем $\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.