Номер 1, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между плоскостями $ABC_1$ и $BCC_1$.

1. Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это величина линейного угла двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линейный угол строится следующим образом: на линии пересечения плоскостей выбирается точка, и в каждой плоскости к этой точке проводится перпендикуляр к линии пересечения. Угол между этими перпендикулярами и будет искомым углом.

В данной задаче мы ищем угол между плоскостями $(ABC_1)$ и $(BCC_1)$.

1. Найдем линию пересечения плоскостей $(ABC_1)$ и $(BCC_1)$. Обе плоскости содержат точки B и $C_1$, следовательно, они пересекаются по прямой $BC_1$.

2. Теперь нам нужно найти две прямые, по одной в каждой плоскости, которые перпендикулярны линии пересечения $BC_1$. Угол между этими прямыми и будет искомым углом.

3. Рассмотрим плоскость $(BCC_1)$. Эта плоскость совпадает с гранью куба $BCC_1B_1$, которая является квадратом. Прямая $BC_1$ является диагональю этого квадрата. Другая диагональ этого квадрата — $B_1C$. В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, следовательно, $B_1C \perp BC_1$. Прямая $B_1C$ лежит в плоскости $(BCC_1)$.

4. Рассмотрим плоскость $(ABC_1)$. Ребро куба $AB$ перпендикулярно всей плоскости грани $BCC_1B_1$, так как $AB \perp BC$ и $AB \perp BB_1$. Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $(BCC_1)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $BC_1$ лежит в плоскости $(BCC_1)$, следовательно, $AB \perp BC_1$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC_1)$.

5. Таким образом, мы нашли две прямые, $AB$ и $B_1C$, каждая из которых перпендикулярна общей линии пересечения $BC_1$. Угол между плоскостями $(ABC_1)$ и $(BCC_1)$ равен углу между прямыми $AB$ и $B_1C$.

6. Прямые $AB$ и $B_1C$ являются скрещивающимися. Чтобы найти угол между ними, выполним параллельный перенос одной из прямых так, чтобы она пересекала другую. Прямая $AB$ параллельна прямой $A_1B_1$. Значит, искомый угол равен углу между прямыми $A_1B_1$ и $B_1C$. Эти прямые пересекаются в точке $B_1$ и образуют угол $\angle A_1B_1C$.

7. Найдем величину угла $\angle A_1B_1C$. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle A_1B_1C$. Пусть ребро куба равно $a$.
- Сторона $A_1B_1$ является ребром куба, поэтому $A_1B_1 = a$.
- Сторона $B_1C$ является диагональю грани (квадрата) $BCC_1B_1$, поэтому ее длина равна $B_1C = \sqrt{B_1C_1^2 + C_1C^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
- Сторона $A_1C$ является пространственной диагональю куба. Ее можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике $\triangle A_1C_1C$, где $A_1C_1$ - диагональ грани. $A_1C_1 = a\sqrt{2}$, $C_1C=a$. Тогда $A_1C = \sqrt{(A_1C_1)^2 + (C_1C)^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

8. Проверим, выполняется ли для треугольника $\triangle A_1B_1C$ теорема Пифагора:
$(A_1B_1)^2 + (B_1C)^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$.
$(A_1C)^2 = (a\sqrt{3})^2 = 3a^2$.
Так как $(A_1B_1)^2 + (B_1C)^2 = (A_1C)^2$, треугольник $\triangle A_1B_1C$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$.

9. Следовательно, угол $\angle A_1B_1C = 90^\circ$. Это и есть искомый угол между плоскостями.

Ответ: $90^\circ$.