Номер 5, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, точка $E$ — середина ребра $SC$, найдите угол между плоскостями $ABC$ и $BDE$.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD основанием является квадрат ABCD, а вершина S проецируется в центр основания O, который является точкой пересечения диагоналей квадрата. По условию, все ребра пирамиды равны 1. Точка E — середина ребра SC.

Искомый угол между плоскостями ABC и BDE — это двугранный угол между этими плоскостями. Для его нахождения мы воспользуемся методом линейного угла.

1. Линией пересечения плоскостей ABC и BDE является прямая BD, так как обе плоскости содержат точки B и D.

2. Построим линейный угол двугранного угла. Для этого в каждой из плоскостей проведем перпендикуляр к линии их пересечения BD в одной и той же точке.

В плоскости основания ABC (которая является плоскостью квадрата ABCD) диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Они пересекаются в точке O. Следовательно, отрезок OC лежит в плоскости ABC и перпендикулярен прямой BD ($OC \perp BD$).

3. Теперь рассмотрим плоскость BDE. Найдем стороны треугольника BDE.

Сторона BD является диагональю квадрата ABCD со стороной 1. По теореме Пифагора, ее длина $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Так как все ребра пирамиды равны 1, боковые грани являются равносторонними треугольниками. В равностороннем треугольнике SBC ($SB=SC=BC=1$) отрезок BE является медианой, проведенной к стороне SC (так как E — середина SC). В равностороннем треугольнике медиана также является и высотой. Длина медианы равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $BE = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично, в равностороннем треугольнике SDC, отрезок DE является медианой, и его длина также $DE = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $BE = DE$, треугольник BDE является равнобедренным с основанием BD. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Точка O является серединой основания BD. Следовательно, отрезок EO является медианой и высотой треугольника BDE, проведенной к стороне BD. Это означает, что EO лежит в плоскости BDE и $EO \perp BD$.

4. Мы построили два отрезка OC и EO, которые перпендикулярны общей прямой BD в одной и той же точке O. Следовательно, искомый угол между плоскостями ABC и BDE равен углу между этими отрезками, то есть $\angle EOC$.

5. Для нахождения величины угла EOC, рассмотрим треугольник EOC и найдем длины его сторон.

- $OC$ — это половина диагонали AC. Длина диагонали $AC = BD = \sqrt{2}$. Значит, $OC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

- $EC$ — это половина ребра SC. Так как $SC=1$, то $EC = \frac{1}{2}$.

- $EO$. Для нахождения длины EO рассмотрим треугольник SOC. SO — высота пирамиды. Так как SO перпендикулярна плоскости основания, то $SO \perp OC$, и треугольник SOC является прямоугольным. По теореме Пифагора: $SC^2 = SO^2 + OC^2$. Подставим известные значения: $1^2 = SO^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2$. Отсюда $SO^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, и $SO = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

В треугольнике SOC мы имеем $SO = OC = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, он является равнобедренным прямоугольным треугольником. Точка E — середина его гипотенузы SC. В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. Таким образом, $EO = \frac{1}{2}SC = \frac{1}{2}$.

6. Теперь мы знаем все три стороны треугольника EOC: $OC = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $EC = \frac{1}{2}$, $EO = \frac{1}{2}$. Найдем угол $\angle EOC$ (обозначим его $\alpha$) с помощью теоремы косинусов:

$EC^2 = EO^2 + OC^2 - 2 \cdot EO \cdot OC \cdot \cos(\alpha)$

$(\frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos(\alpha)$

$\frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\alpha)$

$0 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\alpha)$

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\alpha) = \frac{1}{2}$

$\cos(\alpha) = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Из этого следует, что $\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.