Номер 3, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между плоскостями $AB_1C_1$ и $BCD_1$.

Для нахождения угла между плоскостями $AB_1C_1$ и $BCD_1$ воспользуемся координатным методом. Пусть ребро куба равно $a$. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине A, направив ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy вдоль ребра AD и ось Oz вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины куба, необходимые для решения, будут иметь следующие координаты:

$A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $B_1(a, 0, a)$, $C_1(a, a, a)$, $D_1(0, a, a)$.

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Найдем векторы нормали для каждой из указанных плоскостей.

Нахождение нормального вектора к плоскости $AB_1C_1$

Эта плоскость проходит через точки $A(0, 0, 0)$, $B_1(a, 0, a)$ и $C_1(a, a, a)$. Для нахождения вектора нормали $\vec{n_1}$ найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC_1}$, и вычислим их векторное произведение.

$\vec{AB_1} = (a-0, 0-0, a-0) = (a, 0, a)$

$\vec{AC_1} = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$

$\vec{n_1} = \vec{AB_1} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & a \\ a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - a \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - a \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot a) = (-a^2, 0, a^2)$.

Для упрощения вычислений можно использовать любой коллинеарный вектор, например, разделив координаты $\vec{n_1}$ на $-a^2$ (поскольку $a \ne 0$). Получим вектор $\vec{n_1'} = (1, 0, -1)$.

Нахождение нормального вектора к плоскости $BCD_1$

Эта плоскость проходит через точки $B(a, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$ и $D_1(0, a, a)$. Аналогично найдем два вектора в этой плоскости, $\vec{BC}$ и $\vec{BD_1}$, и их векторное произведение, чтобы получить вектор нормали $\vec{n_2}$.

$\vec{BC} = (a-a, a-0, 0-0) = (0, a, 0)$

$\vec{BD_1} = (0-a, a-0, a-0) = (-a, a, a)$

$\vec{n_2} = \vec{BC} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ -a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot a - a \cdot (-a)) = (a^2, 0, a^2)$.

Упростим, разделив на $a^2$, и получим коллинеарный вектор $\vec{n_2'} = (1, 0, 1)$.

Нахождение угла между плоскостями

Угол $\theta$ между плоскостями можно найти как угол между их нормальными векторами $\vec{n_1'} = (1, 0, -1)$ и $\vec{n_2'} = (1, 0, 1)$. Косинус этого угла вычисляется по формуле:

$\cos\theta = \frac{|\vec{n_1'} \cdot \vec{n_2'}|}{|\vec{n_1'}| \cdot |\vec{n_2'}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1'} \cdot \vec{n_2'} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = 1 + 0 - 1 = 0$.

Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Следовательно, и сами плоскости перпендикулярны.

$\cos\theta = 0$, из чего следует, что $\theta = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.